44 Примерные самостоятельные и контрольные работы Вариант 2 Обязательная часть 1. Разложите многочлен на множители: а) 4⁴ – 8b⁵; б) 5a – 9aq – 5b + 9bq; в) 81t² – 72at + 16a²; г) 0,64h² - 49w²; д) 1/27 m³ + n³; e) -n² – mn + n + np + mp – p. 2. Найдите значение выражения 5a(3t – z) – 2z + 6t, если 3t – z = 3/8, 5a + 2=1,6. 3. Представьте выражение в виде произведения многочленов: а) 9a² – (2a + 11)²; б) 343 – (u + 1)³. 4. Решите уравнение: а) 121x² – 4 = 0; б) (2n + n²) – n – 2 = 0. 5. Сократите дробь 25y²-20y-9z²+4/25y²-30yz+9z²-4 при допустимых значениях переменных. Дополнительная часть 6. Решите уравнение х² – 6х – 27 = 0, используя разложение многочлена на множители. 7°. Длина прямоугольника на 6 дм больше стороны квадрата, а его ширина на 10 дм меньше стороны этого же квадрата. Найдите сторону квадрата, если площадь пря- моугольника 36 дм².

Вариант 2

Обязательная часть

1. Разложите многочлен на множители:
   • а) 4a⁴ - 8b⁵;

   Разложить на множители данное выражение не представляется возможным в рамках школьной программы, так как нет формулы разности пятых степеней.

   • б) 5a - 9aq - 5b + 9bq = 5(a - b) - 9q(a - b) = (a - b)(5 - 9q)

   Ответ: (a - b)(5 - 9q)

   • в) 81t² – 72at + 16a² = (9t - 4a)²

   Ответ: (9t - 4a)²

   • г) 0,64h² - 49w² = (0.8h)² - (7w)² = (0.8h - 7w)(0.8h + 7w)

   Ответ: (0.8h - 7w)(0.8h + 7w)

   • д) 1/27 m³ + n³ = (1/3 m)³ + n³ = (1/3 m + n)(1/9 m² - 1/3 mn + n²)

   Ответ: (1/3 m + n)(1/9 m² - 1/3 mn + n²)

   • e) -n² - mn + n + np + mp - p = -n(n + m - 1) + p(n + m - 1) = (n + m - 1)(p - n)

   Ответ: (n + m - 1)(p - n)

2. Найдите значение выражения 5a(3t – z) – 2z + 6t, если 3t – z = 3/8, 5a + 2=1,6.

   Если 5a + 2 = 1.6, то 5a = 1.6 - 2 = -0.4, следовательно, a = -0.4/5 = -0.08

   5a(3t – z) – 2z + 6t = 5a(3t – z) + 2(3t - z) = (5a + 2)(3t - z) = 1.6 * 3/8 = 0.6

   Ответ: 0,6

3. Представьте выражение в виде произведения многочленов:
   • а) 9a² – (2a + 11)² = (3a)² – (2a + 11)² = (3a – (2a + 11))(3a + (2a + 11)) = (3a – 2a – 11)(3a + 2a + 11) = (a – 11)(5a + 11)

   Ответ: (a – 11)(5a + 11)

   • б) 343 – (u + 1)³ = 7³ – (u + 1)³ = (7 – (u + 1))(7² + 7(u + 1) + (u + 1)²) = (7 – u – 1)(49 + 7u + 7 + u² + 2u + 1) = (6 – u)(u² + 9u + 57)

   Ответ: (6 – u)(u² + 9u + 57)

4. Решите уравнение:
   • а) 121x² – 4 = 0;

   121x² = 4

   x² = 4/121

   x = ±√(4/121)

   x = ±2/11

   Ответ: x = ±2/11

   • б) (2n + n²) – n – 2 = 0.

   n² + 2n - n - 2 = 0

   n² + n - 2 = 0

   D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

   n1 = (-1 + √9) / (2 * 1) = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1

   n2 = (-1 - √9) / (2 * 1) = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

   Ответ: n1 = 1, n2 = -2

5. Сократите дробь 25y²-20y-9z²+4/25y²-30yz+9z²-4 при допустимых значениях переменных.

   (25y² - 20y + 4) - 9z² / (25y² - 30yz + 9z²) - 4 = ((5y - 2)² - (3z)²) / ((5y - 3z)² - 4) = ((5y - 2 - 3z)(5y - 2 + 3z)) / ((5y - 3z - 2)(5y - 3z + 2))

   Ответ: (5y - 2 + 3z) / (5y - 3z + 2)

Дополнительная часть

1. Решите уравнение х² – 6х – 27 = 0, используя разложение многочлена на множители.

   x² – 6x – 27 = 0

   Подберем два числа, произведение которых равно -27, а сумма равна 6. Это числа -3 и 9.

   x² – 6x – 27 = (x - 9)(x + 3) = 0

   Следовательно, x - 9 = 0 или x + 3 = 0

   x1 = 9, x2 = -3

   Ответ: x1 = 9, x2 = -3

2. Длина прямоугольника на 6 дм больше стороны квадрата, а его ширина на 10 дм меньше стороны этого же квадрата. Найдите сторону квадрата, если площадь прямоугольника 36 дм².

   Пусть сторона квадрата равна a дм, тогда длина прямоугольника равна (a + 6) дм, а ширина равна (a - 10) дм.

   Площадь прямоугольника равна (a + 6)(a - 10) = 36

   a² - 10a + 6a - 60 = 36

   a² - 4a - 96 = 0

   D = (-4)² - 4 * 1 * (-96) = 16 + 384 = 400

   a1 = (4 + √400) / (2 * 1) = (4 + 20) / 2 = 24 / 2 = 12

   a2 = (4 - √400) / (2 * 1) = (4 - 20) / 2 = -16 / 2 = -8 (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)

   Следовательно, сторона квадрата равна 12 дм.

   Ответ: 12 дм