Примеры: Вычислите пределы (если они существуют): a) lim \(\frac{3n^2-n^4-5}{n \to \infty} \frac{3n^2-n^4-5}{n^4+2n^3-3n^2+1}\); б) lim \(\frac{2n-5}{n \to \infty} \frac{2n-5}{3-n}\); в) lim \(\frac{(3n-1)(2-n)-5}{n \to \infty} \frac{(3n-1)(2-n)-5}{3n^2+1}\); г) lim \(\frac{3n}{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} \cdot \frac{3n^2+1}{n^2+1}\); д) lim \(\frac{3n^2-n^3-5}{n \to \infty} \frac{3n^2-n^3-5}{n^4+2n^3-3n^2+1}\); e) lim \(\frac{n}{n \to \infty} (\frac{n}{n^3+2} \cdot \frac{n^3-n-1}{n+3})\); ж)* lim \(\frac{4n\sqrt{n}+3n^2\sqrt[3]{1+27n}}{n \to \infty} \frac{4n\sqrt{n}+3n^2\sqrt[3]{1+27n}}{2n^2+n\sqrt{n}\sqrt[3]{1+n^5}}\); з)* lim \(\frac{4n\sqrt{n^3}+1+3n\sqrt[3]{1+2n-3}}{n \to \infty} \frac{4n\sqrt{n^3}+1+3n\sqrt[3]{1+2n-3}}{2n-n^2\sqrt{3+4n}}\); и)* lim \((\sqrt{2n^2-8n-1}-\sqrt{2n^2+n+2})\); к)* lim \((\sqrt{5n^3+2n-1}-\sqrt{5n^3-n+3})\); л)* lim \((\sqrt{2n^4+7n^2-2}-\sqrt{2n^4-n+1})\); м)* lim \((\sqrt[3]{n^3+3n^2-1}-\sqrt[3]{n^3+2n^2-n})\).

a) lim \(\frac{3n^2-n^4-5}{n \to \infty} \frac{3n^2-n^4-5}{n^4+2n^3-3n^2+1}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^4\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^4}-\frac{n^4}{n^4}-\frac{5}{n^4}}{\frac{n^4}{n^4}+\frac{2n^3}{n^4}-\frac{3n^2}{n^4}+\frac{1}{n^4}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-1-\frac{5}{n^4}}{1+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^4}} = \frac{0-1-0}{1+0-0+0} = \frac{-1}{1} = -1\)

Ответ: -1

---

б) lim \(\frac{2n-5}{n \to \infty} \frac{2n-5}{3-n}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n}-\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{n}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-1} = \frac{2-0}{0-1} = \frac{2}{-1} = -2\)

Ответ: -2

---

в) lim \(\frac{(3n-1)(2-n)-5}{n \to \infty} \frac{(3n-1)(2-n)-5}{3n^2+1}\)

Раскроем скобки и упростим числитель:

\(lim_{n \to \infty} \frac{6n-3n^2-2+n-5}{3n^2+1} = lim_{n \to \infty} \frac{-3n^2+7n-7}{3n^2+1}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}-\frac{7}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = lim_{n \to \infty} \frac{-3+\frac{7}{n}-\frac{7}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}} = \frac{-3+0-0}{3+0} = \frac{-3}{3} = -1\)

Ответ: -1

---

г) lim \(\frac{3n}{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} \cdot \frac{3n^2+1}{n^2+1}\)

\(lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} \cdot \frac{3n^2+1}{n^2+1} = lim_{n \to \infty} \frac{3n(3n^2+1)}{(n+1)(n^2+1)} = lim_{n \to \infty} \frac{9n^3+3n}{n^3+n^2+n+1}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^3\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9n^3}{n^3}+\frac{3n}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{n^2}{n^3}+\frac{n}{n^3}+\frac{1}{n^3}} = lim_{n \to \infty} \frac{9+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}} = \frac{9+0}{1+0+0+0} = \frac{9}{1} = 9\)

Ответ: 9

---

д) lim \(\frac{3n^2-n^3-5}{n \to \infty} \frac{3n^2-n^3-5}{n^4+2n^3-3n^2+1}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^4\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2}{n^4}-\frac{n^3}{n^4}-\frac{5}{n^4}}{\frac{n^4}{n^4}+\frac{2n^3}{n^4}-\frac{3n^2}{n^4}+\frac{1}{n^4}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^4}}{1+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^4}} = \frac{0-0-0}{1+0-0+0} = \frac{0}{1} = 0\)

Ответ: 0

---

e) lim \(\frac{n}{n \to \infty} (\frac{n}{n^3+2} \cdot \frac{n^3-n-1}{n+3})\)

\(lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^3+2} \cdot \frac{n^3-n-1}{n+3}) = lim_{n \to \infty} \frac{n(n^3-n-1)}{(n^3+2)(n+3)} = lim_{n \to \infty} \frac{n^4-n^2-n}{n^4+3n^3+2n+6}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^4\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^4}{n^4}-\frac{n^2}{n^4}-\frac{n}{n^4}}{\frac{n^4}{n^4}+\frac{3n^3}{n^4}+\frac{2n}{n^4}+\frac{6}{n^4}} = lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{6}{n^4}} = \frac{1-0-0}{1+0+0+0} = \frac{1}{1} = 1\)

Ответ: 1

---

ж)* lim \(\frac{4n\sqrt{n}+3n^2\sqrt[3]{1+27n}}{n \to \infty} \frac{4n\sqrt{n}+3n^2\sqrt[3]{1+27n}}{2n^2+n\sqrt{n}\sqrt[3]{1+n^5}}\)

Упростим выражение, выделив старшие степени:

\(lim_{n \to \infty} \frac{4n^{3/2}+3n^2(27n)^{1/3}}{2n^2+n^{3/2}(n^5)^{1/3}} = lim_{n \to \infty} \frac{4n^{3/2}+3n^2 \cdot 3n^{1/3}}{2n^2+n^{3/2} \cdot n^{5/3}} = lim_{n \to \infty} \frac{4n^{3/2}+9n^{7/3}}{2n^2+n^{13/6}}\)

Преобразуем показатели к общему знаменателю 6:

\(lim_{n \to \infty} \frac{4n^{9/6}+9n^{14/6}}{2n^{12/6}+n^{13/6}}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^{14/6}\) = \(n^{7/3}\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^{9/6}}{n^{14/6}}+\frac{9n^{14/6}}{n^{14/6}}}{\frac{2n^{12/6}}{n^{14/6}}+\frac{n^{13/6}}{n^{14/6}}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n^{5/6}}+9}{\frac{2}{n^{2/6}}+\frac{1}{n^{1/6}}} = \frac{0+9}{0+0} = \frac{9}{0}\)

Так как в знаменателе 0, то предел равен бесконечности.

Ответ: \(\infty\)

---

з)* lim \(\frac{4n\sqrt{n^3}+1+3n\sqrt[3]{1+2n-3}}{n \to \infty} \frac{4n\sqrt{n^3}+1+3n\sqrt[3]{1+2n-3}}{2n-n^2\sqrt{3+4n}}\)

Упростим выражение, выделив старшие степени:

\(lim_{n \to \infty} \frac{4n^{5/2}+1+3n(2n)^{1/3}}{2n-n^2(4n)^{1/2}} = lim_{n \to \infty} \frac{4n^{5/2}+1+3n(2^{1/3}n^{1/3})}{2n-n^2 \cdot 2n^{1/2}} = lim_{n \to \infty} \frac{4n^{5/2}+1+3 \cdot 2^{1/3} n^{4/3}}{2n-2n^{5/2}}\)

Преобразуем показатели к общему знаменателю 6:

\(lim_{n \to \infty} \frac{4n^{15/6}+1+3 \cdot 2^{1/3} n^{8/6}}{2n^{6/6}-2n^{15/6}}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^{15/6}\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^{15/6}}{n^{15/6}}+\frac{1}{n^{15/6}}+\frac{3 \cdot 2^{1/3} n^{8/6}}{n^{15/6}}}{\frac{2n^{6/6}}{n^{15/6}}-\frac{2n^{15/6}}{n^{15/6}}} = lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{1}{n^{15/6}}+\frac{3 \cdot 2^{1/3}}{n^{7/6}}}{\frac{2}{n^{9/6}}-2} = \frac{4+0+0}{0-2} = \frac{4}{-2} = -2\)

Ответ: -2

---

и)* lim \((\sqrt{2n^2-8n-1}-\sqrt{2n^2+n+2})\)

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

\(lim_{n \to \infty} (\sqrt{2n^2-8n-1}-\sqrt{2n^2+n+2}) = lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{2n^2-8n-1}-\sqrt{2n^2+n+2})(\sqrt{2n^2-8n-1}+\sqrt{2n^2+n+2})}{\sqrt{2n^2-8n-1}+\sqrt{2n^2+n+2}} \)

\(= lim_{n \to \infty} \frac{(2n^2-8n-1)-(2n^2+n+2)}{\sqrt{2n^2-8n-1}+\sqrt{2n^2+n+2}} = lim_{n \to \infty} \frac{-9n-3}{\sqrt{2n^2-8n-1}+\sqrt{2n^2+n+2}}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-9n}{n}-\frac{3}{n}}{\frac{\sqrt{2n^2-8n-1}}{n}+\frac{\sqrt{2n^2+n+2}}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{-9-\frac{3}{n}}{\sqrt{\frac{2n^2-8n-1}{n^2}}+\sqrt{\frac{2n^2+n+2}{n^2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{-9-\frac{3}{n}}{\sqrt{2-\frac{8}{n}-\frac{1}{n^2}} + \sqrt{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}} \)

\(= \frac{-9-0}{\sqrt{2-0-0}+ \sqrt{2+0+0}} = \frac{-9}{2\sqrt{2}} = -\frac{9\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: \(-\frac{9\sqrt{2}}{4}\)

---

к)* lim \((\sqrt{5n^3+2n-1}-\sqrt{5n^3-n+3})\)

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

\(lim_{n \to \infty} (\sqrt{5n^3+2n-1}-\sqrt{5n^3-n+3}) = lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{5n^3+2n-1}-\sqrt{5n^3-n+3})(\sqrt{5n^3+2n-1}+\sqrt{5n^3-n+3})}{\sqrt{5n^3+2n-1}+\sqrt{5n^3-n+3}} \)

\(= lim_{n \to \infty} \frac{(5n^3+2n-1)-(5n^3-n+3)}{\sqrt{5n^3+2n-1}+\sqrt{5n^3-n+3}} = lim_{n \to \infty} \frac{3n-4}{\sqrt{5n^3+2n-1}+\sqrt{5n^3-n+3}}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^{3/2}\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n^{3/2}}-\frac{4}{n^{3/2}}}{\frac{\sqrt{5n^3+2n-1}}{n^{3/2}}+\frac{\sqrt{5n^3-n+3}}{n^{3/2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{\sqrt{n}}-\frac{4}{n^{3/2}}}{\sqrt{\frac{5n^3+2n-1}{n^3}}+\sqrt{\frac{5n^3-n+3}{n^3}}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{\sqrt{n}}-\frac{4}{n^{3/2}}}{\sqrt{5+\frac{2}{n^2}-\frac{1}{n^3}} + \sqrt{5-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}} \)

\(= \frac{0-0}{\sqrt{5+0-0}+ \sqrt{5-0+0}} = \frac{0}{2\sqrt{5}} = 0\)

Ответ: 0

---

л)* lim \((\sqrt{2n^4+7n^2-2}-\sqrt{2n^4-n+1})\)

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

\(lim_{n \to \infty} (\sqrt{2n^4+7n^2-2}-\sqrt{2n^4-n+1}) = lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{2n^4+7n^2-2}-\sqrt{2n^4-n+1})(\sqrt{2n^4+7n^2-2}+\sqrt{2n^4-n+1})}{\sqrt{2n^4+7n^2-2}+\sqrt{2n^4-n+1}} \)

\(= lim_{n \to \infty} \frac{(2n^4+7n^2-2)-(2n^4-n+1)}{\sqrt{2n^4+7n^2-2}+\sqrt{2n^4-n+1}} = lim_{n \to \infty} \frac{7n^2+n-3}{\sqrt{2n^4+7n^2-2}+\sqrt{2n^4-n+1}}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{3}{n^2}}{\frac{\sqrt{2n^4+7n^2-2}}{n^2}+\frac{\sqrt{2n^4-n+1}}{n^2}} = lim_{n \to \infty} \frac{7+\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}{\sqrt{\frac{2n^4+7n^2-2}{n^4}}+\sqrt{\frac{2n^4-n+1}{n^4}}} = lim_{n \to \infty} \frac{7+\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}{\sqrt{2+\frac{7}{n^2}-\frac{2}{n^4}} + \sqrt{2-\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}} \)

\(= \frac{7+0-0}{\sqrt{2+0-0}+ \sqrt{2-0+0}} = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: \(\frac{7\sqrt{2}}{4}\)

---

м)* lim \((\sqrt[3]{n^3+3n^2-1}-\sqrt[3]{n^3+2n^2-n})\).

Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Пусть \(a = \sqrt[3]{n^3+3n^2-1}\) и \(b = \sqrt[3]{n^3+2n^2-n}\). Тогда:

\(a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(n^3+3n^2-1) - (n^3+2n^2-n)}{(\sqrt[3]{n^3+3n^2-1})^2 + \sqrt[3]{n^3+3n^2-1}\sqrt[3]{n^3+2n^2-n} + (\sqrt[3]{n^3+2n^2-n})^2} \)

\(= \frac{n^2+n-1}{(\sqrt[3]{n^3+3n^2-1})^2 + \sqrt[3]{(n^3+3n^2-1)(n^3+2n^2-n)} + (\sqrt[3]{n^3+2n^2-n})^2}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\):

\(lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{(\sqrt[3]{n^3+3n^2-1})^2}{n^2} + \frac{\sqrt[3]{(n^3+3n^2-1)(n^3+2n^2-n)}}{n^2} + \frac{(\sqrt[3]{n^3+2n^2-n})^2}{n^2}} = lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{\sqrt[3]{\frac{(n^3+3n^2-1)^2}{n^6}} + \sqrt[3]{\frac{(n^3+3n^2-1)(n^3+2n^2-n)}{n^6}} + \sqrt[3]{\frac{(n^3+2n^2-n)^2}{n^6}}} \)

\(= lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{\sqrt[3]{(\frac{n^3+3n^2-1}{n^3})^2} + \sqrt[3]{\frac{(n^3+3n^2-1)(n^3+2n^2-n)}{n^6}} + \sqrt[3]{(\frac{n^3+2n^2-n}{n^3})^2}} = \frac{1+0-0}{\sqrt[3]{(1+0-0)^2} + \sqrt[3]{(1+0-0)(1+0-0)} + \sqrt[3]{(1+0-0)^2}} \)

\(= \frac{1}{\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1}} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)