Примеры Найти наибольшеее чение и наименьшее значение a) y = x²+42-3, [0;2] 3 б) y = x²-90x+240-1, [-1;3] 2) Построить график y = -3x²+ 6x-10 1.

а) \(y = x^2 + 4x - 3\) на отрезке \([0; 2]\)

• Шаг 1: Найдём производную функции: \[y' = 2x + 4\]
• Шаг 2: Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: \[2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2\]
• Шаг 3: Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку \([0; 2]\). В данном случае, \(x = -2\) не принадлежит отрезку.
• Шаг 4: Вычислим значения функции на концах отрезка:
  • \(y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 3 = -3\)
  • \(y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9\)
• Шаг 5: Сравним значения функции на концах отрезка. Наибольшее значение равно 9, наименьшее значение равно -3.

Ответ: Наибольшее значение: 9, наименьшее значение: -3

б) \(y = x^3 - 9x + 24x - 1\) на отрезке \([-1; 3]\)

• Шаг 1: Упростим функцию: \(y = x^3 + 15x - 1\)
• Шаг 2: Найдём производную функции: \[y' = 3x^2 + 15\]
• Шаг 3: Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: \[3x^2 + 15 = 0 \Rightarrow x^2 = -5\] Так как квадрат числа не может быть отрицательным, критических точек нет.
• Шаг 4: Вычислим значения функции на концах отрезка:
  • \(y(-1) = (-1)^3 + 15 \cdot (-1) - 1 = -1 - 15 - 1 = -17\)
  • \(y(3) = 3^3 + 15 \cdot 3 - 1 = 27 + 45 - 1 = 71\)
• Шаг 5: Сравним значения функции на концах отрезка. Наибольшее значение равно 71, наименьшее значение равно -17.

Ответ: Наибольшее значение: 71, наименьшее значение: -17

2) Построить график \(y = -3x^2 + 6x - 10\)

• Шаг 1: Определим координаты вершины параболы:
  • \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1\)
  • \(y_в = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 10 = -3 + 6 - 10 = -7\)
  • Вершина параболы: (1; -7)
• Шаг 2: Определим ось симметрии параболы: \(x = 1\)
• Шаг 3: Найдём несколько точек для построения графика.
  • Если \(x = 0\), то \(y = -3 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 - 10 = -10\) (0; -10)
  • Если \(x = 2\), то \(y = -3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 10 = -12 + 12 - 10 = -10\) (2; -10)
  • Если \(x = -1\), то \(y = -3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 10 = -3 - 6 - 10 = -19\) (-1; -19)
  • Если \(x = 3\), то \(y = -3 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 - 10 = -27 + 18 - 10 = -19\) (3; -19)
• Шаг 4: Построим график параболы, используя найденные точки.