6. Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть (v) - собственная скорость лодки. Пусть расстояние между пристанями А и В равно (S) км. Тогда время, затраченное на путь от А до В (против течения), равно (\frac{S}{v-4}), а время, затраченное на путь от В до А (по течению), равно (\frac{S}{v+4}). Общее время в пути равно (\frac{S}{v-4} + \frac{S}{v+4}). Средняя скорость равна (\frac{2S}{\frac{S}{v-4} + \frac{S}{v+4}} = 6). Упростим выражение: \[\frac{2}{\frac{1}{v-4} + \frac{1}{v+4}} = 6\] \[\frac{2}{\frac{v+4 + v-4}{(v-4)(v+4)}} = 6\] \[\frac{2}{\frac{2v}{v^2-16}} = 6\] \[\frac{v^2-16}{v} = 6\] \[v^2-16 = 6v\] \[v^2 - 6v - 16 = 0\] Решим квадратное уравнение: (D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100) (v_1 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8) (v_2 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2) Так как скорость не может быть отрицательной, то (v = 8) км/ч. Ответ: 8 км/ч