Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: a) 11/12 и 7/30; б) 57/112 и 25/84.

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

а) Дроби \( \frac{11}{12} \) и \( \frac{7}{30} \)

1. Разложим знаменатели на простые множители:
• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
2. Найдем НОК(12, 30): \( \text{НОК}(12, 30) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \).
3. Определим дополнительные множители:
• Для \( \frac{11}{12} \): \( 60 : 12 = 5 \)
• Для \( \frac{7}{30} \): \( 60 : 30 = 2 \)
4. Приведем дроби к знаменателю 60:
• \( \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60} \)
• \( \frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60} \)

б) Дроби \( \frac{57}{112} \) и \( \frac{25}{84} \)

1. Разложим знаменатели на простые множители:
• \( 112 = 2^4 \cdot 7 \)
• \( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)
2. Найдем НОК(112, 84): \( \text{НОК}(112, 84) = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336 \).
3. Определим дополнительные множители:
• Для \( \frac{57}{112} \): \( 336 : 112 = 3 \)
• Для \( \frac{25}{84} \): \( 336 : 84 = 4 \)
4. Приведем дроби к знаменателю 336:
• \( \frac{57}{112} = \frac{57 \cdot 3}{112 \cdot 3} = \frac{171}{336} \)
• \( \frac{25}{84} = \frac{25 \cdot 4}{84 \cdot 4} = \frac{100}{336} \)

Ответ: а) \( \frac{55}{60} \) и \( \frac{14}{60} \); б) \( \frac{171}{336} \) и \( \frac{100}{336} \).