Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: a) \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{7}{30}\); б) \(\frac{57}{112}\) и \(\frac{25}{84}\).

a) \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{7}{30}\):

1. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 12 и 30. Для этого разложим числа на простые множители:

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$$ $$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$$

2. Чтобы найти НОЗ, берем все множители из разложений чисел, причем каждый множитель берем с наибольшей степенью, в которой он встречается в разложениях:

$$\text{НОЗ}(12, 30) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

3. Приведем дроби к знаменателю 60. Для дроби \(\frac{11}{12}\) дополнительный множитель равен \(\frac{60}{12} = 5\), для дроби \(\frac{7}{30}\) дополнительный множитель равен \(\frac{60}{30} = 2\):

$$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60}$$ $$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}$$

Ответ: \(\frac{55}{60}\) и \(\frac{14}{60}\)

б) \(\frac{57}{112}\) и \(\frac{25}{84}\):

1. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 112 и 84. Разложим числа на простые множители:

$$112 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$$ $$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$

2. Чтобы найти НОЗ, берем все множители из разложений чисел, причем каждый множитель берем с наибольшей степенью, в которой он встречается в разложениях:

$$\text{НОЗ}(112, 84) = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336$$

3. Приведем дроби к знаменателю 336. Для дроби \(\frac{57}{112}\) дополнительный множитель равен \(\frac{336}{112} = 3\), для дроби \(\frac{25}{84}\) дополнительный множитель равен \(\frac{336}{84} = 4\):

$$\frac{57}{112} = \frac{57 \cdot 3}{112 \cdot 3} = \frac{171}{336}$$ $$\frac{25}{84} = \frac{25 \cdot 4}{84 \cdot 4} = \frac{100}{336}$$

Ответ: \(\frac{171}{336}\) и \(\frac{100}{336}\)