Приведите к общему знаменателю дроби \(\frac{1+c^2}{c^2 - 16}\) и \(\frac{c}{4-c}\).

Решение:

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Заметим, что \( c^2 - 16 \) — это разность квадратов: \( c^2 - 16 = (c-4)(c+4) \).

Теперь рассмотрим знаменатель второй дроби: \( 4-c \). Можно записать его как \( -(c-4) \).

Общий знаменатель для \( (c-4)(c+4) \) и \( -(c-4) \) будет \( -(c-4)(c+4) \), или \( (4-c)(c+4) \).

Приведём первую дробь к общему знаменателю \( -(c-4)(c+4) \):

\( \frac{1+c^2}{c^2 - 16} = \frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)} = \frac{-(1+c^2)}{-(c-4)(c+4)} = \frac{-1-c^2}{-(c^2 - 16)} \)

Приведём вторую дробь к общему знаменателю \( -(c-4)(c+4) \):

\( \frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} = \frac{c(-(c+4))}{-(c-4)(-(c+4))} = \frac{-c(c+4)}{-(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{-(c^2 - 16)} \)

Таким образом, дроби с общим знаменателем \( -(c^2-16) \) будут:

\( \frac{-1-c^2}{-(c^2-16)} \) и \( \frac{-c^2-4c}{-(c^2-16)} \)

Или, если использовать \( (c^2-16) \) как знаменатель (домножив обе дроби на -1):

\( \frac{1+c^2}{c^2 - 16} = \frac{1+c^2}{c^2 - 16} \)

\( \frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} = \frac{-c}{c-4} = \frac{-c(c+4)}{(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{c^2-16} \)

Общим знаменателем является \( c^2 - 16 \).

Первая дробь остается без изменений: \( \frac{1+c^2}{c^2 - 16} \).

Вторая дробь: \( \frac{c}{4-c} = \frac{c}{-(c-4)} \). Чтобы получить знаменатель \( c^2 - 16 = (c-4)(c+4) \), нужно вторую дробь домножить на \( -(c+4) \) числитель и знаменатель:

\( \frac{c}{-(c-4)} \cdot \frac{-(c+4)}{-(c+4)} = \frac{-c(c+4)}{-(c-4) \cdot -(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{(c-4)(c+4)} = \frac{-c^2-4c}{c^2-16} \).

Ответ: \( \frac{1+c^2}{c^2 - 16} \) и \( \frac{-c^2-4c}{c^2-16} \).