Приведите к общему знаменателю \(\frac{1+c^2}{c^2-16}\) и \(\frac{c}{4-c}\).

Решение:

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатель первой дроби \( c^2 - 16 \) на множители как разность квадратов: \( c^2 - 16 = (c-4)(c+4) \).

Знаменатель второй дроби \( 4-c \) можно преобразовать, вынеся минус за скобку: \( 4-c = -(c-4) \).

Теперь дроби выглядят так:

\(\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}\)

\(\frac{c}{-(c-4)}\) или \(-\frac{c}{c-4}\)

Общий знаменатель для обеих дробей будет \( (c-4)(c+4) \).

Первую дробь оставляем без изменений:

\(\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}\)

Вторую дробь умножаем на \( (c+4) \) числитель и знаменатель, чтобы привести к общему знаменателю:

\(-\frac{c · (c+4)}{(c-4) · (c+4)} = -\frac{c^2+4c}{(c-4)(c+4)}\)

Таким образом, дроби с общим знаменателем:

\(\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}\)

\(-\frac{c^2+4c}{(c-4)(c+4)}\)

Примечание: Общий знаменатель может быть также \( (4-c)(4+c) \), тогда дроби будут:

\(\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)} = \frac{1+c^2}{-(4-c)(4+c)} = -\frac{1+c^2}{(4-c)(4+c)}\)

\(\frac{c}{4-c} = \frac{c · (4+c)}{(4-c) · (4+c)} = \frac{4c+c^2}{(4-c)(4+c)}\)

Ответ: \(\frac{1+c^2}{(c-4)(c+4)}\), \(-\frac{c^2+4c}{(c-4)(c+4)}\)