3.106. Приведите пример квадратичной функции g(x) = = ax2 + bx + c, которая имеет наименьшее значение в точке A(1/2; -1/2) и принимает отрицательные значения на проме- жутке (-3; 4). 3.107. Известно, что ветви параболы у = ах2 + bx + c на- правлены вниз, а нулями функции являются числа 8 и 32. Найдите промежутки: а) знакопостоянства функции; б) монотонности функции. 3.108. Найдите значения числа п, при которых функ- ция у = -3x² + x + п принимает только отрицательные зна- чения. 3.109. Известно, что функция у = 10x² + mx + к не име- нулей. Найдите промежутки знакопостоянства функции.

3.106.

Для начала вспомним общий вид квадратичной функции: g(x) = ax² + bx + c. Нам нужно найти такую функцию, которая имеет наименьшее значение в точке A(1/2; -1/2) и принимает отрицательные значения на промежутке (-3; 4).

Так как функция имеет наименьшее значение, это означает, что a > 0 (ветви параболы направлены вверх). Вершина параболы находится в точке (1/2; -1/2), значит, x_вершины = 1/2 и g(1/2) = -1/2.

Давай воспользуемся формулой для вершины параболы: x_вершины = -b / (2a). У нас x_вершины = 1/2, следовательно, 1/2 = -b / (2a), откуда b = -a.

Теперь подставим x = 1/2 в уравнение функции: g(1/2) = a(1/2)² + b(1/2) + c = -1/2.

Заменим b на -a: a(1/4) - a(1/2) + c = -1/2, что упрощается до -a/4 + c = -1/2, откуда c = a/4 - 1/2.

Теперь нам нужно, чтобы функция принимала отрицательные значения на промежутке (-3; 4). Это значит, что g(-3) < 0 и g(4) < 0.

Подставим x = -3 в уравнение: g(-3) = a(-3)² + b(-3) + c = 9a - 3b + c = 9a - 3(-a) + a/4 - 1/2 = 12a + a/4 - 1/2 = (49a)/4 - 1/2 < 0.

Отсюда (49a)/4 < 1/2, следовательно, a < 2/49.

Подставим x = 4 в уравнение: g(4) = a(4)² + b(4) + c = 16a + 4b + c = 16a - 4a + a/4 - 1/2 = 12a + a/4 - 1/2 = (49a)/4 - 1/2 < 0.

Отсюда (49a)/4 < 1/2, следовательно, a < 2/49.

Теперь выберем a, которое удовлетворяет условию a > 0 и a < 2/49. Например, пусть a = 1/49.

Тогда b = -a = -1/49 и c = a/4 - 1/2 = 1/196 - 1/2 = (1 - 98)/196 = -97/196.

Таким образом, g(x) = (1/49)x² - (1/49)x - 97/196.

3.107.

Давай разберем эту задачу по порядку. У нас есть парабола y = ax² + bx + c, ветви которой направлены вниз, а нули функции - числа 8 и 32.

Раз ветви параболы направлены вниз, значит a < 0. Нули функции - это точки, где y = 0, то есть корни уравнения ax² + bx + c = 0. В нашем случае корни - это 8 и 32.

Мы можем представить уравнение параболы в виде y = a(x - 8)(x - 32), где a < 0.

а) Найдем промежутки знакопостоянства функции. Это промежутки, где функция положительна (y > 0) и где отрицательна (y < 0).

• y > 0, когда a(x - 8)(x - 32) > 0. Так как a < 0, это неравенство эквивалентно (x - 8)(x - 32) < 0. Решим это неравенство методом интервалов. На числовой прямой отметим точки 8 и 32.

------------(8)++++++++++++++(32)------------

Функция положительна между корнями, то есть на интервале (8; 32).

• y < 0, когда a(x - 8)(x - 32) < 0. Так как a < 0, это неравенство эквивалентно (x - 8)(x - 32) > 0. Функция отрицательна вне интервала (8; 32), то есть на интервалах (-∞; 8) и (32; +∞).

б) Теперь найдем промежутки монотонности функции. Так как это парабола, у неё есть вершина. Найдем x-координату вершины по формуле x_вершины = (x1 + x2) / 2, где x1 и x2 - корни уравнения. В нашем случае x_вершины = (8 + 32) / 2 = 40 / 2 = 20.

• Функция возрастает на интервале (-∞; 20), так как ветви направлены вниз.
• Функция убывает на интервале (20; +∞), так как ветви направлены вниз.

3.108.

Нам нужно найти такие значения числа n, при которых функция y = -3x² + x + n принимает только отрицательные значения.

Чтобы функция принимала только отрицательные значения, парабола должна располагаться ниже оси x. Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз (что у нас уже есть, так как коэффициент при x² равен -3, что меньше 0), и у параболы не должно быть точек пересечения с осью x, то есть уравнение -3x² + x + n = 0 не должно иметь решений (дискриминант должен быть отрицательным).

Найдем дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4(-3)(n) = 1 + 12n.

Чтобы уравнение не имело решений, дискриминант должен быть меньше нуля: 1 + 12n < 0.

Решим это неравенство: 12n < -1, n < -1/12.

3.109.

Известно, что функция y = 10x² + mx + k не имеет нулей. Это значит, что парабола не пересекает ось x. Так как коэффициент при x² равен 10, что больше 0, ветви параболы направлены вверх.

Так как парабола не пересекает ось x и ветви направлены вверх, это означает, что функция всегда положительна, то есть y > 0 для всех x.

Следовательно, промежуток знакопостоянства функции - это вся числовая прямая, то есть (-∞; +∞).

Ответ: 3.106: g(x) = (1/49)x² - (1/49)x - 97/196; 3.107: а) (8; 32), (-∞; 8) и (32; +∞); б) (-∞; 20), (20; +∞); 3.108: n < -1/12; 3.109: (-∞; +∞)

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и все обязательно получится!