ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ИТОГОВЫЙ УРОК Решение задач 1. Высота СД прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АД = 16 см и ВД = 9 см. Докажите, что АСД-СВД и найдите высоту СД. 2. Точки Ми № лежат на сторонах АС и ВС треугольника АВС соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ= 12 см, СN = 9 см. Докажите, что М№ 11 ВС Итоговый тест Домашнее задание: повторить признаки подобия треугольников. Для желающий, решить задачи 1. Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон. 2. Даны отрезок АВ и параллельная ему прямая а. Воспользовавшись утверждением, доказанным в задаче 1, разделите отрезок АВ пополам при помощи одной линейки.

Решение задач

1. Задача 1:

   Высота \(CD\) прямоугольного треугольника \(ABC\) делит гипотенузу \(AB\) на части \(AD = 16\) см и \(BD = 9\) см. Нужно доказать, что треугольники \(ACD\) и \(CBD\) подобны, и найти высоту \(CD\).

   Решение:

   Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(CBD\). Угол \(ADC\) и угол \(CDB\) прямые (так как \(CD\) – высота). Обозначим угол \(DAC\) как \(\alpha\). Тогда угол \(DCA\) равен \(90^\circ - \alpha\) (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\)). В треугольнике \(ABC\) угол \(DCB\) также равен \(\alpha\), так как \(\angle ABC = 90^\circ - \alpha\).

   Таким образом, треугольники \(ACD\) и \(CBD\) имеют по два равных угла (прямой угол и угол \(\alpha\)). Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

   Теперь найдем высоту \(CD\). Из подобия треугольников \(ACD\) и \(CBD\) следует, что:

   \[\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\]

   Подставим известные значения \(AD = 16\) см и \(BD = 9\) см:

   \[\frac{16}{CD} = \frac{CD}{9}\]

   Решим уравнение для \(CD\):

   \[CD^2 = 16 \cdot 9\] \[CD^2 = 144\] \[CD = \sqrt{144}\] \[CD = 12\ \text{см}\]

2. Задача 2:

   Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) соответственно, \(AC = 16\) см, \(BC = 12\) см, \(CM = 12\) см, \(CN = 9\) см. Нужно доказать, что \(MN \parallel AB\).

   Решение:

   Рассмотрим отношения сторон \(AC\) к \(CM\) и \(BC\) к \(CN\):

   \[\frac{AC}{CM} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] \[\frac{BC}{CN} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

   Так как отношения сторон \(AC\) к \(CM\) и \(BC\) к \(CN\) равны, то:

   \[\frac{AC}{CM} = \frac{BC}{CN}\]

   Угол \(C\) является общим для треугольников \(ABC\) и \(MNC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(MNC\) подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

   Из подобия треугольников следует, что угол \(CMN\) равен углу \(CAB\). Эти углы являются соответственными при прямых \(MN\) и \(AB\) и секущей \(AC\). Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, \(MN \parallel AB\).

Домашнее задание

1. Задача 1:

   Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон.

2. Задача 2:

   Даны отрезок \(AB\) и параллельная ему прямая \(a\). Воспользовавшись утверждением, доказанным в задаче 1, разделите отрезок \(AB\) пополам при помощи одной линейки.