Про число Х известно, что оно делится на 56 и имеет ровно 2026 делителей. Найдите остаток при делении на 9 максимального из всех Х, удовлетворяющих условиям.

Решение:

Давай разберем задачу по порядку. Нам известно, что число X делится на 56 и имеет 2026 делителей. Нужно найти остаток от деления на 9 максимального из всех X, удовлетворяющих условиям.

Для начала разложим число 56 на простые множители: 56 = 2³ * 7¹.

Теперь рассмотрим число X в виде X = 2^a * 7^b * p₁^c1 * ... * p_n^cn, где p_i — простые числа, отличные от 2 и 7.

Количество делителей числа X равно (a+1)(b+1)(c1+1)...(cn+1) = 2026.

Разложим 2026 на простые множители: 2026 = 2 * 1013. Поскольку 1013 — простое число, у числа 2026 есть только два простых множителя.

Так как X делится на 56, то a ≥ 3 и b ≥ 1. Тогда a+1 ≥ 4 и b+1 ≥ 2. Чтобы получить 2026 делителей, необходимо, чтобы произведение степеней было равно 2026.

Тогда возможны два варианта для количества делителей:

1. (a+1)(b+1) = 2 * 1013. Чтобы число X было максимальным, a и b должны быть как можно больше.
2. X = 2^a * 7^b.

Разберем первый вариант:

Поскольку 2026 = 2 * 1013, то число делителей может быть получено только как произведение двух чисел. Так как a ≥ 3 и b ≥ 1, рассмотрим варианты:

• a+1 = 1013, b+1 = 2, тогда a = 1012, b = 1. X = 2¹⁰¹² * 7¹.
• a+1 = 2, b+1 = 1013, тогда a = 1, b = 1012. Этот вариант не подходит, так как a ≥ 3.

Таким образом, X = 2¹⁰¹² * 7¹. Однако число 2³*7¹ должно делить X, поэтому минимальные значения для степеней двойки и семерки это 3 и 1 соответственно.

Теперь рассмотрим второй вариант:

(a+1)(b+1) = 2026, где a ≥ 3 и b ≥ 1. Значит (a+1) и (b+1) это делители 2026. 2026 = 2 * 1013, поэтому a+1 = 1013 и b+1 = 2. Тогда a = 1012, b = 1. Или a+1 = 2 и b+1 = 1013. Тогда a = 1, b = 1012. Первый вариант подходит, второй - нет.

Пусть X = 2¹⁰¹² * 7¹. Найдем остаток от деления X на 9.

2¹⁰¹² mod 9 = (2³)³³⁷ * 2¹ mod 9 = 8³³⁷ * 2 mod 9 = (-1)³³⁷ * 2 mod 9 = -1 * 2 mod 9 = -2 mod 9 = 7.

Тогда X mod 9 = (2¹⁰¹² mod 9) * (7 mod 9) mod 9 = (7 * 7) mod 9 = 49 mod 9 = 4.

Следовательно, остаток от деления X на 9 равен 4.

Ответ: 4