Про данную дробь известно, что если ее числитель увеличить на \(\frac{1}{2}\), то дробь станет равна \(\frac{1}{2}\), а если числитель увеличить на 2, то дробь станет равна 1. Найдите эту дробь.

Пусть x - числитель дроби, y - знаменатель дроби. Тогда дробь имеет вид \(\frac{x}{y}\).

Составим систему уравнений, исходя из условия задачи:

1) Если числитель увеличить на \(\frac{1}{2}\), то дробь станет равна \(\frac{1}{2}\):

$$\frac{x + \frac{1}{2}}{y} = \frac{1}{2}$$

2) Если числитель увеличить на 2, то дробь станет равна 1:

$$\frac{x + 2}{y} = 1$$

Решим эту систему уравнений:

Из второго уравнения выразим y через x:

$$y = x + 2$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{x + \frac{1}{2}}{x + 2} = \frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на 2(x + 2), чтобы избавиться от знаменателей:

$$2(x + \frac{1}{2}) = x + 2$$ $$2x + 1 = x + 2$$

Перенесем x в левую часть, а числа - в правую:

$$2x - x = 2 - 1$$ $$x = 1$$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение для y:

$$y = 1 + 2$$ $$y = 3$$

Таким образом, дробь равна \(\frac{1}{3}\).

Проверим, удовлетворяет ли полученная дробь условиям задачи:

1) \(\frac{1 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\) - верно.

2) \(\frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1\) - верно.

Ответ: \(\frac{1}{3}\)