Про действительные числа \(a\) и \(b\) известно, что \(\frac{a}{a-b}-\frac{3b}{a+b}=1\). Чему может быть равно значение выражения \(\frac{5a+2b}{a+2b}\)? Если ответов несколько, в ответ напишите наибольшее значение.

Учитываем, что знаменатели в условии не равны нулю: \(a-b\ne 0\) и \(a+b\ne 0\).

Рассмотрим случай \(b=0\). Тогда \(a\ne 0\), и условие принимает вид \(\frac{a}{a}=1\), то есть выполняется. Значение выражения равно \(\frac{5a}{a}=5\).

Теперь рассмотрим случай \(b\ne 0\). Умножим условие на \((a-b)(a+b)\):

\(a(a+b)-3b(a-b)=(a-b)(a+b)\).

Раскрываем скобки и сокращаем \(a^2\):

\(a^2-2ab+3b^2=a^2-b^2\), поэтому \(4b^2=2ab\). Так как \(b\ne 0\), получаем \(a=2b\).

Тогда \(\frac{5a+2b}{a+2b}=\frac{10b+2b}{2b+2b}=3\).

Возможные значения выражения — 3 и 5; наибольшее из них — 5.

Ответ: 5.