Про натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. В результате получилось 129. Какое число было загадано?

Решение:

Пусть загаданное натуральное число равно \( x \).

По условию задачи, числа \( A, B, C \) являются натуральными и удовлетворяют условию \( 4 < A < 8 \), \( 4 < B < 8 \), \( 4 < C < 8 \). Таким образом, \( A, B, C \) могут принимать значения из множества \( \{5, 6, 7\} \).

Согласно условию, мы имеем следующее уравнение:

\[ x \cdot A + B - C = 129 \]\[ x \cdot A = 129 - B + C \]

Рассмотрим возможные значения \( 129 - B + C \) для \( B, C \) из \( \{5, 6, 7\} \):

• Минимальное значение \( 129 - B + C \) будет, когда \( B \) максимально, а \( C \) минимально: \( 129 - 7 + 5 = 127 \).


• Максимальное значение \( 129 - B + C \) будет, когда \( B \) минимально, а \( C \) максимально: \( 129 - 5 + 7 = 131 \).

Итак, \( x \cdot A \) может принимать значения из диапазона \( [127, 131] \).

Теперь подставим возможные значения \( A \) из \( \{5, 6, 7\} \) и проверим, какое из них даёт натуральное \( x \) в указанном диапазоне:

• Если \( A = 5 \): \( x \cdot 5 = 127, 128, 129, 130, 131 \). Делится на 5 только \( 130 \). \( x = 130 / 5 = 26 \).


• Если \( A = 6 \): \( x \cdot 6 = 127, 128, 129, 130, 131 \). Нет целых чисел, делящихся на 6.


• Если \( A = 7 \): \( x \cdot 7 = 127, 128, 129, 130, 131 \). Делится на 7 только \( 126 \) (вне диапазона) или \( 133 \) (вне диапазона). Нет целых чисел в диапазоне, делящихся на 7.

Единственный вариант, при котором \( x \) является натуральным числом, это когда \( A = 5 \) и \( x \cdot 5 = 130 \), следовательно \( x = 26 \).

Проверим, существуют ли такие \( B \) и \( C \) из \( \{5, 6, 7\} \), что \( 129 - B + C = 130 \):

\[ -B + C = 1 \]

Это условие выполняется, например, при \( B = 5 \) и \( C = 6 \) (так как \( -5 + 6 = 1 \)), или при \( B = 6 \) и \( C = 7 \) (так как \( -6 + 7 = 1 \)).

Таким образом, загаданное число равно 26.

Ответ: 26