Про натуральные числа x, y и z известно, что (x + y)(x + z)(y + z) = 1976. Найдите сумму x + y + z.

Обозначим попарные суммы через \(a=x+y\), \(b=x+z\), \(c=y+z\). Тогда \(abc=1976=2^3\cdot13\cdot19\). Числа \(a,b,c\) удовлетворяют строгим неравенствам треугольника, например, \(a+b>c\).

Если все три попарные суммы чётные, то после деления каждой на 2 получились бы натуральные числа с произведением \(247=13\cdot19\). Возможные наборы множителей — \((1,1,247)\) и \((1,13,19)\); ни один не удовлетворяет неравенствам треугольника.

Значит, ровно одна из попарных сумм чётная, и две другие нечётные. Нечётные множители произведения вместе дают \(247\), поэтому чётная сумма должна содержать множитель \(2^3\). Проверяем возможные разложения: при чётной сумме \(8\) нечётные суммы могут быть \(1\) и \(247\) либо \(13\) и \(19\); только набор \((8,13,19)\) удовлетворяет неравенствам треугольника. Если чётная сумма равна \(104\), \(152\) или \(1976\), эти неравенства не выполняются.

Следовательно, попарные суммы равны 8, 13 и 19. Тогда сами числа равны \((8+13-19)/2=1\), \((8+19-13)/2=7\) и \((13+19-8)/2=12\).

Их сумма: \(1+7+12=20\).

Ответ: 20.