Про треугольники ABC и KLM известно, что AB = 14, BC = 6, ∠ABC = α, KL = 35, LM = 15, KM = 30, ∠KLM = α. Найдите AC.

Решение:

По условию задачи, \( \angle ABC = \alpha \) и \( \angle KLM = \alpha \). Это означает, что углы \( \angle ABC \) и \( \angle KLM \) равны.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle KLM \).

У нас есть следующие соотношения сторон:

• \( AB = 14 \), \( BC = 6 \)
• \( KL = 35 \), \( LM = 15 \), \( KM = 30 \)

Заметим, что стороны треугольника \( \triangle KLM \) отличаются от сторон \( \triangle ABC \) в \( 2.5 \) раза: \( KL = 2.5 \cdot AB \) \( (35 = 2.5 \cdot 14) \), \( LM = 2.5 \cdot BC \) \( (15 = 2.5 \cdot 6) \).

Треугольник \( \triangle KLM \) имеет стороны \( KL = 35 \), \( LM = 15 \), \( KM = 30 \).

Попробуем проверить подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак подобия \( \text{SAS} \)).

Сравним отношение сторон:

• \( \frac{AB}{KL} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5} \)
• \( \frac{BC}{LM} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)

Так как \( \frac{AB}{KL} = \frac{BC}{LM} = \frac{2}{5} \) и \( \angle ABC = \angle KLM = \alpha \), то треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle KLM \) подобны по двум сторонам и углу между ними.

Коэффициент подобия \( k = \frac{AB}{KL} = \frac{BC}{LM} = \frac{2}{5} \).

Поэтому отношение третьих сторон также равно коэффициенту подобия:

\( \frac{AC}{KM} = k \)

\( \frac{AC}{30} = \frac{2}{5} \)

Найдем \( AC \):

\[ AC = 30 \cdot \frac{2}{5} = \frac{60}{5} = 12 \]

Ответ: 12