Problem 13

Решение:

На рисунке изображен треугольник, где дан угол \( \angle MPN = 60^{\circ} \). Также отмечено, что \( MK = KN \), что означает, что точка \( K \) является серединой отрезка \( MN \). Кроме того, на рисунке показано, что \( PK \) перпендикулярно \( MN \) (обозначено прямым углом). Это означает, что \( PK \) является высотой треугольника \( PMN \) к основанию \( MN \).

Поскольку \( PK \) является и медианой (так как \( K \) — середина \( MN \)) и высотой треугольника \( PMN \), то этот треугольник является равнобедренным с \( PM = PN \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \( \angle PMN = \angle PNM \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). В треугольнике \( PMN \): \( \angle MPN + \angle PMN + \angle PNM = 180^{\circ} \).

Подставляем известные значения: \( 60^{\circ} + \angle PMN + \angle PNM = 180^{\circ} \).

Так как \( \angle PMN = \angle PNM \), мы можем записать: \( 60^{\circ} + 2 \cdot \angle PMN = 180^{\circ} \).

Решаем уравнение относительно \( \angle PMN \):

\( 2 \cdot \angle PMN = 180^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle PMN = 120^{\circ} \)

\( \angle PMN = \frac{120^{\circ}}{2} \)

\( \angle PMN = 60^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle PNM = 60^{\circ} \) как равный \( \angle PMN \).

Таким образом, все углы треугольника \( PMN \) равны \( 60^{\circ} \), что означает, что треугольник \( PMN \) является равносторонним.

Ответ: Треугольник PMN является равносторонним.