Разберем каждое предложение и найдем ошибки в употреблении числительных:
1. **Договор вступает в силу после подписания обоими сторонами.** – Здесь все верно, «обоими» употреблено правильно.
2. **Требования одинаковы для обоих кандидатов.** – Здесь все верно, «обоих» употреблено правильно.
3. **К сожалению, мне придётся не согласиться с обеими утверждениями.** – Здесь все верно, «обеими» употреблено правильно.
4. **Он моргнул сразу обоими глазами.** – Здесь все верно, «обоими» употреблено правильно.
5. **Для обеих торговых компаний решение суда стало неприятным сюрпризом.** – Здесь все верно, «обеих» употреблено правильно.
6. **Мальчик схватил гуся обоими руками.** – Здесь все верно, «обоими» употреблено правильно.
7. **Парень взял цветы и положил их к обоим памятникам.** – Здесь все верно, «обоим» употреблено правильно.
8. **Оба цветка благоухали нектаром.** – Здесь все верно, «оба» употреблено правильно.
9. **Для обоих этих видов мёда характерны большие затраты сырья.** – Здесь все верно, «обоих» употреблено правильно.
10. **По обоим сторонам железной дороги лежали брёвна.** – Здесь все верно, «обоим» употреблено правильно.
**Итого:** Во всех предложениях числительные употреблены верно, ошибок нет.