Давай разберем текст и посмотрим, какие варианты подходят.
В тексте упоминается «будущий царь». Исторически известно, что в 1613 году Михаил Фёдорович Романов был избран на царство. Это укрепляет вероятность того, что события происходили именно в этом году. Также в тексте говорится о том, что послы «многие часы умоляли их не отвергать всенародного прошения», что соответствует ситуации избрания первого царя из династии Романовых.
Правильно.
Лжедмитрий I правил в 1605–1606 годах. События, связанные с избранием Михаила Романова, происходили в 1613 году. К этому времени Лжедмитрий I уже не был современником событий, так как был убит гораздо раньше.
Неправильно.
Василий Шуйский был свергнут с престола в 1610 году. В 1613 году происходило избрание нового царя, которым стал Михаил Романов. Следовательно, Василий Шуйский не был царём в этот период.
Неправильно.
Смутное время началось раньше, еще до избрания Михаила Романова (обычно его начало относят к 1598 или 1604 году). Избрание Михаила Романова, наоборот, стало окончанием Смутного времени, а не его началом.
Неправильно.
В тексте говорится о «будущем царе» и упоминается, что послы «умоляли их не отвергать всенародного прошения». Это напрямую связано с избранием на царство Михаила Фёдоровича Романова. Поэтому пропущенное имя — Михаил.
Правильно.
Итог: Правильными являются утверждения 1 и 5.
Ответ: 1, 5