Обоснование: В 1869 году Дмитрий Менделеев опубликовал свою первую версию Периодической таблицы. Вариант "published" (опубликовал) лучше всего подходит по смыслу.
Обоснование: Предложение "When Mendeleev was 13 years old, his father went blind and died soon after." описывает событие, связанное со смертью отца, поэтому "his father's death" (смерть его отца) является наиболее логичным продолжением.
Обоснование: Текст указывает, что Менделеев переехал в Санкт-Петербург вместе с матерью и братьями. Вариант "to St. Petersburg" (в Санкт-Петербург) точно передает это перемещение.
Обоснование: Предложение "Mendeleev worked on many different projects during his career, but the Periodic Table is by far his most important ... to science." подразумевает, что Периодическая таблица является его самым важным вкладом в науку. "contribution to science" (вклад в науку) является устойчивым выражением.
Обоснование: "He spent years ... the elements and their properties, and he even predicted the existence of some elements that had not yet been discovered." Наиболее подходящий предлог, означающий "изучая" или "работая над", в данном контексте - "over" (над).
Обоснование: Предложение "... addition to being a chemist, Mendeleev was also a writer and a politician." указывает на то, что Менделеев был не только химиком, но и писателем и политиком. "In addition to" (в дополнение к) является правильной конструкцией.