Ответ:

  1. «Детство М. Ю. Лермонтова прошло в с. Тарханы Пензенской губернии» — +. Это верное утверждение.
  2. «Бабушка часто возила внука на лечение в Сочи» — неверно. Бабушка возила Лермонтова на Кавказ, в частности в Пятигорск; Сочи в утверждении указан ошибочно.
  3. «В 14 лет Лермонтов поступил в университетский Благородный пансион (Санкт-Петербург)» — неверно: он поступил в Благородный пансион при Московском университете.
  4. Утверждение о разносторонних способностях Лермонтова — +. Он занимался музыкой и рисованием, знал иностранные языки, интересовался математикой и шахматами.
  5. «Всенародная слава пришла к Лермонтову со стихотворением „Молитва“» — неверно. Широкую известность ему принесло стихотворение «Смерть поэта».
  6. «Погиб на дуэли с Дантесом» — неверно. Лермонтов погиб на дуэли с Николаем Мартыновым в 1841 году; с Дантесом на дуэли погиб Пушкин.

Ответ: знаками «+» отмечены первое и четвёртое утверждения.