Борис Годунов действительно был избран на царство, но не только Боярской думой. После смерти Федора Иоанновича Земский собор избрал Бориса Годунова новым царем.
В данном утверждении говорится, что Борис Годунов был избран на царство Боярской думой, что не является полностью верным, так как в выборах участвовал Земский собор.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Неверно