Продольные и поперечные деформации. Закон Гука. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации. Брус защемлен, Определить перемещение свободного конца бруса, предварительно просчитав продольные силы и нормальные напряжения с построение эпюр. Материал бруса сталь (E= 2*10^5 МПа).

Решение задачи

Для решения задачи нам нужно определить перемещение свободного конца бруса. Для этого последовательно рассчитаем продольные силы и нормальные напряжения в каждом участке бруса, а затем вычислим деформацию.

1. Расчет продольных сил (N)

Брус защемлен с одной стороны и нагружен силами. Разделим брус на два участка:

• Участок 1 (слева направо): От защемления до силы F2. Длина участка c = 0,6 м. В этом участке действует сила F2 = 30 кН, направленная влево. Следовательно, продольная сила в этом участке N1 = -30 кН (растяжение, так как сила направлена к сечению, но в данном контексте, учитывая защемление и направление силы F2, это сжатие).


• Участок 2 (слева направо): От силы F2 до свободного конца. Длина участка B = 0,3 м. В этом участке действует сила F1 = 50 кН, направленная вправо. Следовательно, продольная сила в этом участке N2 = 50 кН (растяжение).

2. Расчет нормальных напряжений (σ)

Нормальное напряжение определяется по формуле \( σ = \frac{N}{A} \), где \( N \) — продольная сила, \( A \) — площадь поперечного сечения.

По условию задачи у нас есть два варианта площади:

• Вариант 1 (из таблицы): \( A_1 = 450 \text{ мм}^2 \), \( A_2 = 1000 \text{ мм}^2 \).


• Вариант 2 (на схеме): \( A_1 = 1000 \text{ мм}^2 \), \( A_2 = 450 \text{ мм}^2 \).

Будем использовать значения из таблицы, так как там указан номер варианта (2).

• Участок 1: \( N_1 = -30 \text{ кН} = -30 \times 10^3 \text{ Н} \). Площадь сечения для этого участка, согласно таблице, A2 = 1000 мм² = 1000 × 10⁻⁶ м² = 10⁻³ м².

\( σ_1 = \frac{-30 \times 10^3 \text{ Н}}{10^{-3} \text{ м}^2} = -30 \times 10^6 \text{ Па} = -30 \text{ МПа} \) (сжатие).

• Участок 2: \( N_2 = 50 \text{ кН} = 50 \times 10^3 \text{ Н} \). Площадь сечения для этого участка, согласно таблице, A1 = 450 мм² = 450 × 10⁻⁶ м² = 0.45 × 10⁻³ м².

\( σ_2 = \frac{50 \times 10^3 \text{ Н}}{0.45 \times 10^{-3} \text{ м}^2} \frac{500}{4.5} \times 10^5 \text{ Па} 111.1 \times 10^5 \text{ Па} 111.1 \text{ МПа} \) (растяжение).

3. Расчет перемещений (Δl)

Перемещение участка определяется по формуле \( Δl = \frac{N l}{E A} \), где \( l \) — длина участка, \( E \) — модуль упругости материала.

Модуль упругости стали: \( E = 2 \times 10^5 \text{ МПа} = 2 \times 10^{11} \text{ Па} \).

Длины участков даны в метрах:

• Участок 1: \( l_1 = c = 0,6 \text{ м} \).

\( Δl_1 = \frac{N_1 l_1}{E A_2} = \frac{(-30 \times 10^3 \text{ Н}) (0,6 \text{ м})}{(2 \times 10^{11} \text{ Па}) (10^{-3} \text{ м}^2)} = \frac{-18 \times 10^3}{-2 \times 10^8} \text{ м} = 0.09 \times 10^{-5} \text{ м} = 0.0000009 \text{ м} = 0.9 \text{ мкм} \). (Перемещение влево, т.е. уменьшение длины).

• Участок 2: \( l_2 = B = 0,3 \text{ м} \).

\( Δl_2 = \frac{N_2 l_2}{E A_1} = \frac{(50 \times 10^3 \text{ Н}) (0,3 \text{ м})}{(2 \times 10^{11} \text{ Па}) (0.45 \times 10^{-3} \text{ м}^2)} = \frac{15 \times 10^3}{0.9 \times 10^8} \text{ м} 16.67 \times 10^{-5} \text{ м} = 0.0001667 \text{ м} = 0.1667 \text{ мм} \). (Перемещение вправо, т.е. увеличение длины).

4. Общее перемещение свободного конца

Общее перемещение свободного конца бруса будет суммой перемещений участков. Учитывая, что свободный конец находится справа, и мы получили растяжение (положительное перемещение) на участке 2, и защемленный конец слева, мы должны учитывать относительные перемещения.

Перемещение точки, где приложена сила F2, относительно защемления: \( Δl_1 = -0.9 \text{ мкм} \).

Перемещение свободного конца относительно точки приложения F2: \( Δl_2 = 0.1667 \text{ мм} = 166.7 \text{ мкм} \).

Общее перемещение свободного конца (точка