Продолжаем решать задачу: Докажите, что при любом четном \( a \) сумма дробей \( \frac{a}{12} \), \( \frac{a^2}{8} \) и \( \frac{a^3}{24} \) число целое. Шаг 2. Докажем, что числитель дроби при четном \( a \) делится на 24. Выражение \( a (a + 1) (a + 2) \) делится на ... при любом целом значении \( a \).

Ответ: 6

Шаг 2. Докажем, что числитель дроби при четном \( a \) делится на 24. Выражение \( a(a + 1)(a + 2) \) делится на 6 при любом целом значении \( a \). Так как \( a \) четное, то \( a = 2k \), где \( k \) - целое число. Тогда \( 2k(2k + 1)(2k + 2) = 4k(2k + 1)(k + 1) \). Если \( k \) четное, то \( k = 2m \), и \( 4 \cdot 2m(4m + 1)(2m + 1) = 8m(4m + 1)(2m + 1) \) делится на 8. Если \( k \) нечетное, то \( k = 2m + 1 \), и \( 4(2m + 1)(4m + 3)(m + 1) \) делится на 8. Значит, \( a(a + 1)(a + 2) \) делится на 24, так как оно делится на 3 и на 8.

Ответ: 6