434. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке М. Найдите меньшее основание трапеции, если большее основание AD равно 42 см, АВ = 9 см, ВМ = 54 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников.

1. Рассмотрим треугольники BMC и AMD. У них угол M - общий, а углы при основаниях BC и AD равны, так как BC и AD параллельны (свойства трапеции). Следовательно, треугольники BMC и AMD подобны по двум углам.

2. Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

$$ \frac{BC}{AD} = \frac{BM}{AM} $$

3. Выразим AM через известные величины:

$$ AM = AB + BM = 9 + 54 = 63 \text{ см} $$

4. Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{BC}{42} = \frac{54}{63} $$

5. Решим уравнение относительно BC:

$$ BC = \frac{54 \times 42}{63} = \frac{54 \times 2 \times 21}{3 \times 21} = \frac{54 \times 2}{3} = 18 \times 2 = 36 \text{ см} $$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 36 см.

Ответ: 36 см