Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Большее основание AD равно 32 см, AF = 16 см, AB = 12 см. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABF \) и \( \triangle ADF \).
2. Поскольку \( BC \) || \( AD \), то \( \triangle FBC \) подобен \( \triangle FAD \) (по двум углам: \( \angle F \) — общий, \( \angle FBC = \angle FAD \) как соответственные при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( FA \)).
3. Из подобия следует соотношение сторон: \( \frac{FB}{FA} = \frac{FC}{FD} = \frac{BC}{AD} \).
4. Нам дано: \( AD = 32 \) см, \( AF = 16 \) см, \( AB = 12 \) см.
5. Из \( AF = 16 \) и \( AB = 12 \) находим \( FB = AF - AB = 16 - 12 = 4 \) см.
6. Используем отношение подобия: \( \frac{FB}{FA} = \frac{BC}{AD} \).
7. Подставим известные значения: \( \frac{4}{16} = \frac{BC}{32} \).
8. Упростим дробь: \( \frac{1}{4} = \frac{BC}{32} \).
9. Найдем \( BC \): \( BC = \frac{1}{4} \times 32 = 8 \) см.

Ответ: 8 см.