Продолжения сторон \(AB\) и \(DC\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\). Найди \(AK\), если \(AB = 6\) дм и \(BC : AD = 3 : 4\).

Пошаговое решение:

1. Обозначим \(BC = 3x\) и \(AD = 4x\).
2. Рассмотрим треугольники \(BCK\) и \(ADK\). Они подобны, так как углы при основании \(BC\) и \(AD\) равны (как соответственные при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AB\)), а также углы при вершине \(K\) равны (как вертикальные).
3. Из подобия треугольников следует пропорция:
   \[\frac{BK}{AK} = \frac{BC}{AD}\]
4. Подставим известные значения:
   \[\frac{BK}{AK} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}\]
5. Обозначим \(AK = y\), тогда \(BK = y - AB = y - 6\). Получаем:
   \[\frac{y - 6}{y} = \frac{3}{4}\]
6. Решим уравнение:
   \[4(y - 6) = 3y\]
   \[4y - 24 = 3y\]
   \[y = 24\]

Ответ: 24 дм.