Проекция диагонали равнобокой трапеции на ее большее основание равна 15, боковая сторона равна 10. Найдите площадь трапеции, если угол при ее меньшем основании равен 120°. В ответ укажите площадь трапеции, делённую на √3.

1. Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, AB = CD = 10 - боковые стороны, BH - высота трапеции.

2. Проекция диагонали на большее основание равна 15. Это значит, что отрезок AH = 15.

3. Угол при меньшем основании равен 120°, следовательно, угол \( \angle BAD = 180° - 120° = 60° \)

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём \( AB = 10 \), \( \angle BAH = 60° \). Найдем высоту BH:

$$ BH = AB \cdot sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $$

5. Найдем AH:

$$ AH = AB \cdot cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 $$

6. Так как по условию проекция диагонали на большее основание равна 15, то HD = AD - AH = 15.

7. Тогда AD = AH + HD = 5 + 15 = 20.

8. Найдем площадь трапеции:

$$ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH $$

9. Так как трапеция равнобокая, то BC = AD - 2AH = 20 - 2 \cdot 5 = 10

10. Подставим известные значения в формулу площади:

$$ S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{30}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} $$

11. По условию, в ответ нужно указать площадь трапеции, делённую на \( \sqrt{3} \).

12. Выполним деление:

$$ \frac{75\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 75 $$

Ответ: 75