Проходят ли прямые, являющиеся графиками уравнений 6х + 5y = 11, 7x - 2y = 8 и 2у - 7x = 6, через одну и ту же точку?

Решение:

Чтобы определить, проходят ли прямые через одну и ту же точку, нужно найти точку пересечения двух любых прямых, а затем проверить, лежит ли эта точка на третьей прямой.

1. Найдем точку пересечения первых двух прямых:
   Уравнения:
   • 1) \( 6x + 5y = 11 \)
   • 2) \( 7x - 2y = 8 \)

   Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы избавиться от \(y\):

   • \( (6x + 5y = 11) \times 2 \rightarrow 12x + 10y = 22 \)
   • \( (7x - 2y = 8) \times 5 \rightarrow 35x - 10y = 40 \)

   Сложим полученные уравнения:

   • \( (12x + 10y) + (35x - 10y) = 22 + 40 \)
   • \( 47x = 62 \)
   • \( x = \frac{62}{47} \)

   Подставим \(x\) в первое уравнение (1):

   • \( 6 \times \frac{62}{47} + 5y = 11 \)
   • \( \frac{372}{47} + 5y = 11 \)
   • \( 5y = 11 - \frac{372}{47} \)
   • \( 5y = \frac{11 \times 47 - 372}{47} \)
   • \( 5y = \frac{517 - 372}{47} \)
   • \( 5y = \frac{145}{47} \)
   • \( y = \frac{145}{47 \times 5} \)
   • \( y = \frac{29}{47} \)

   Итак, точка пересечения первых двух прямых: \( (\frac{62}{47}, \frac{29}{47}) \).

2. Проверим, проходит ли эта точка через третью прямую:
   Уравнение третьей прямой: \( 2y - 7x = 6 \)
   Подставим координаты точки:
3. \( 2 \times \frac{29}{47} - 7 \times \frac{62}{47} = 6 \)
4. \( \frac{58}{47} - \frac{434}{47} = 6 \)
5. \( \frac{58 - 434}{47} = 6 \)
6. \( \frac{-376}{47} = 6 \)
7. \( -8 = 6 \)

Равенство неверно. Значит, прямые не проходят через одну и ту же точку.

Вывод: Прямые, являющиеся графиками данных уравнений, не проходят через одну и ту же точку.