Произведение корней уравнения (9/23)^(x^2-21) = (23/9)^(19x-3) равно

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Тут главное — увидеть, что основания степеней — это взаимно обратные числа.

Наше уравнение:

\[ \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2 - 21} = \left( \frac{23}{9} \right)^{19x - 3} \]

Мы знаем, что (a/b)^n = (b/a)^(-n). Давай применим это к правой части:

(23/9)^(- (19x - 3)) = (23/9)^(-19x + 3)

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \left( \frac{9}{23} \right)^{x^2 - 21} = \left( \frac{9}{23} \right)^{-19x + 3} \]

Раз основания одинаковые, то и показатели степеней равны:

\[ x^2 - 21 = -19x + 3 \]

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 19x - 21 - 3 = 0 \]
\[ x^2 + 19x - 24 = 0 \]

Нас просят найти произведение корней этого уравнения. По теореме Виета, для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, произведение корней x1 * x2 равно c/a.

В нашем случае:

• a = 1
• b = 19
• c = -24

Произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-24}{1} = -24 \]

Ответ: -24