Произведение корней уравнения $$ \left( \frac{9}{23} \right) ^{x^2-21} = \left( \frac{23}{9} \right) ^{19x-3} $$ равно

Решение:

Для решения уравнения сначала приведём обе части к одному основанию. Заметим, что \( \frac{23}{9} = \left( \frac{9}{23} \right)^{-1} \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ \left( \frac{9}{23} \right) ^{x^2-21} = \left( \left( \frac{9}{23} \right)^{-1} \right) ^{19x-3} \]\[ \left( \frac{9}{23} \right) ^{x^2-21} = \left( \frac{9}{23} \right) ^{- (19x-3)} \]\[ \left( \frac{9}{23} \right) ^{x^2-21} = \left( \frac{9}{23} \right) ^{-19x+3} \]

Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ x^2 - 21 = -19x + 3 \]\[ x^2 + 19x - 21 - 3 = 0 \]\[ x^2 + 19x - 24 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для нахождения произведения корней воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), произведение корней \( x_1
o \cdot x_2 \) равно \( \frac{c}{a} \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 19 \), \( c = -24 \).

Произведение корней равно:

\[ x_1
o \cdot x_2 = \frac{-24}{1} = -24 \]

Ответ: -24