Производится 100 выстрелов по мишени. Известно, что вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина Х – количество попаданий по мишени. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение X.

Решение:

Данная задача описывает биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное число независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два исхода (попадание или промах) с постоянной вероятностью успеха.

Параметры биномиального распределения:

• Число испытаний \( n = 100 \)
• Вероятность успеха (попадания) \( p = 0.8 \)
• Вероятность неудачи (промаха) \( q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 \)

1. Математическое ожидание \( M(X) \):

Формула для математического ожидания биномиального распределения: \( M(X) = n \cdot p \)

Подставляем значения:

\[ M(X) = 100 \cdot 0.8 = 80 \]

2. Стандартное отклонение \( \sigma(X) \):

Сначала найдем дисперсию \( D(X) \). Формула для дисперсии биномиального распределения: \( D(X) = n \cdot p \cdot q \)

Подставляем значения:

\[ D(X) = 100 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 16 \]

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{16} = 4 \]

Ответ: Математическое ожидание \( M(X) = 80 \). Стандартное отклонение \( \sigma(X) = 4 \).