Производная функции у = √x³ + 5х² - 3 в точке хо = 1 равна ...

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sqrt{x^3 + 5x^2 - 3} \) в точке \( x_0 = 1 \), сначала найдём саму производную.

1. Применим правило дифференцирования сложной функции: \( y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \), где \( u = x^3 + 5x^2 - 3 \).
2. Найдем производную \( u' \): \( u' = 3x^2 + 10x \).
3. Подставим \( u \) и \( u' \) в формулу для \( y' \): \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \cdot (3x^2 + 10x) = \frac{3x^2 + 10x}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \]
4. Теперь вычислим значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \[ y'(1) = \frac{3(1)^2 + 10(1)}{2\sqrt{(1)^3 + 5(1)^2 - 3}} = \frac{3 + 10}{2\sqrt{1 + 5 - 3}} = \frac{13}{2\sqrt{3}} \]

Ответ: \( \frac{13}{2\sqrt{3}} \).