Производная функции y = 2x – x² + √x в точке x₀ = 9 равна:

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = 2x - x^2 + \sqrt{x} \), продифференцируем каждый член по отдельности:

1. Производная от \( 2x \) равна \( 2 \).
2. Производная от \( -x^2 \) равна \( -2x \).
3. Производная от \( \sqrt{x} \) (или \( x^{1/2} \)) равна \( \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Итак, производная функции \( y' = 2 - 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Теперь подставим \( x_0 = 9 \) в выражение для производной:

\[ y'(9) = 2 - 2(9) + \frac{1}{2\sqrt{9}} \]\[ y'(9) = 2 - 18 + \frac{1}{2 \cdot 3} \]\[ y'(9) = -16 + \frac{1}{6} \]\[ y'(9) = -16 + \frac{1}{6} = -\frac{16 \cdot 6}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{96}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{95}{6} \]

Переведем неправильную дробь \( -\frac{95}{6} \) в смешанное число:

\( 95 \div 6 = 15 \) с остатком \( 5 \).

Следовательно, \( -\frac{95}{6} = -15\frac{5}{6} \).

Ответ: -15