Производная функции y = x^lnx имеет вид...

Решение:

Для нахождения производной функции y = xlnx, где переменная находится как в основании, так и в показателе степени, удобно воспользоваться логарифмическим дифференцированием.

1. Прологарифмируем обе части уравнения по натуральному логарифму:
   • ln y = ln(xlnx)
   • Используя свойства логарифмов (ln(ab) = b * lna), получаем:
   • ln y = lnx * lnx = (lnx)2
2. Продифференцируем обе части уравнения по x:
   • Дифференцируем левую часть: (ln y)' = (1/y) * y'
   • Дифференцируем правую часть, используя правило дифференцирования сложной функции ((f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)), где f(u) = u2 и u = lnx:
   • ((lnx)2)' = 2 * lnx * (lnx)' = 2 * lnx * (1/x) = 2(lnx)/x
   • Приравниваем производные левой и правой частей:
   • (1/y) * y' = 2(lnx)/x
3. Выразим y':
   • y' = y * (2(lnx)/x)
   • Подставим исходное выражение для y, то есть y = xlnx:
   • y' = xlnx * (2(lnx)/x)
   • Можно также представить x как x1 и применить правило деления степеней (am / an = am-n):
   • y' = 2 * xlnx * x-1 * lnx
   • y' = 2 * x(lnx - 1) * lnx

Таким образом, производная функции имеет вид y' = 2xlnx-1 * lnx.

Сравнение с вариантами ответов:

• Вариант 1: y'=xlnx-1 * lnx (Неверно, отсутствует множитель 2)
• Вариант 2: y'=2xlnx-1 * lnx (Верно)
• Вариант 3: y'=xlnx * lnx (Неверно, неправильный показатель степени и отсутствует множитель 2)
• Вариант 4: y'=2xlnx-1 (Неверно, отсутствует множитель ln x)