Производная сложной функции y = \(\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}\) имеет вид ...

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sqrt{x^3 + 5x^2 - 3} \) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = x^3 + 5x^2 - 3 \). Тогда \( y = \sqrt{u} \).

Производная \( y' \) равна:

\[ y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Найдём производную \( \frac{dy}{du} \):

\[ \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

Найдём производную \( \frac{du}{dx} \):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 5x^2 - 3) = 3x^2 + 10x \]

Теперь подставим эти значения обратно:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \cdot (3x^2 + 10x) = \frac{3x^2 + 10x}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \]

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• Вариант 1: \( \frac{3x^2 + 10x}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \) — совпадает с нашим результатом.
• Вариант 2: \( \frac{3x^2 - 10x}{\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \) — не совпадает.
• Вариант 3: \( -\frac{2x - 3}{\sqrt{x^2 - 3x + 17}} \) — не совпадает.

Ответ: \( \frac{3x^2 + 10x}{2\sqrt{x^3 + 5x^2 - 3}} \).