Прологарифмировать по указанным основаниям: а) \(64x^3y^3\sqrt[3]{z}\), \(a=8\); б) \(\dfrac{\frac{1}{27}x^2}{\sqrt7\cdot\sqrt[5]{z}}\), \(a=3\).

Используем свойства: логарифм произведения превращается в сумму, частного — в разность, а логарифм степени — в произведение показателя на логарифм.

1. а)

   \(\log_8(64x^3y^3\sqrt[3]{z})=\log_8 64+\log_8 x^3+\log_8 y^3+\log_8 z^{1/3}\).

   Так как \(64=8^2\), получаем \(2+3\log_8 x+3\log_8 y+\frac13\log_8 z\).

2. б)

   \(\log_3\left(\dfrac{\frac{1}{27}x^2}{\sqrt7\cdot\sqrt[5]{z}}\right)=\log_3\frac{1}{27}+\log_3 x^2-\log_3\sqrt7-\log_3\sqrt[5]{z}\).

   Поскольку \(\frac{1}{27}=3^{-3}\), получаем \(-3+2\log_3 x-\frac12\log_3 7-\frac15\log_3 z\).

Для действительных логарифмов предполагаются положительные аргументы; в частности, здесь нужны \(x>0\), \(y>0\), \(z>0\).

Ответ: а) \(2+3\log_8 x+3\log_8 y+\frac13\log_8 z\); б) \(-3+2\log_3 x-\frac12\log_3 7-\frac15\log_3 z\).