Промежуточная аттестация по курсу «Геометрия» в 7 классе Вариант 1. № 1. Сумма двух углов, полученных при пересечении двух прямых, равна 90°. Найдите один из двух других углов. № 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см. Боковая сторона равна 5 см. Найдите длину основания. № 3. В треугольнике АВС на стороне АВ отмечена точка М, а на стороне ВС точка К. так, что МК параллельна АС. АК биссектриса угла МАС. Найдите угол МКА, если угол MAC равен 80°. № 4. В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка D, такая, что AB-BD-DC. DF медиана треугольника ВОС. Найдите угол ВАС, если угол FDC равен 65°, № 5. Треугольник АСВ прямоугольный (угол С = 90°). CD высота. Найдите гипотенузу АВ, если угол СВА равен 30°, AD-4 см.

Решение №1:

Когда две прямые пересекаются, образуются 4 угла. Противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°. Если сумма двух смежных углов равна 90°, то это означает, что прямые перпендикулярны, и все 4 образованных угла равны 90°.

Ответ: 90°.

Решение №2:

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые), а одна отличается (основание).

1. Дано: Периметр (P) = 19 см, Боковая сторона (b) = 5 см.


2. Найти: Основание (a).


3. Формула: P = 2b + a


4. Подставляем значения: 19 = 2 * 5 + a


5. Решаем: 19 = 10 + a => a = 19 - 10 = 9 см.

Ответ: 9 см.

Решение №3:

Дано:

• Треугольник ABC.
• M на AB, K на BC.
• MK || AC.
• AK — биссектриса угла MAC.
• Угол MAC = 80°.

Найти: Угол MKA.

Решение:

1. Угол MAK: Так как AK — биссектриса угла MAC, она делит его пополам: Угол MAK = Угол MAC / 2 = 80° / 2 = 40°.


2. Угол AKM: Так как MK || AC, то угол AKM и угол KAC являются накрест лежащими углами при секущей AK. Значит, Угол AKM = Угол KAC.


3. Угол KAC: Мы знаем, что Угол MAK = 40°. Угол KAC = Угол MAC - Угол MAK = 80° - 40° = 40°.


4. Значит, Угол AKM = 40°.


5. Угол MKA: Угол MKA — это внешний угол треугольника AKC. Также, поскольку MK || AC, то угол MKB равен углу ACB (соответственные углы). В треугольнике MKB, сумма углов равна 180°.


6. Но проще найти угол MKA как часть угла AKC. Угол AKM = 40°. В треугольнике AMK, угол AMK + угол MAK + угол AKA = 180°. Угол AMK = 180 - Угол BAC.


7. Рассмотрим треугольник AMK. У нас есть Угол MAK = 40°.


8. Рассмотрим треугольник AKC. Угол KAC = 40°.


9. Важно: Угол MKA является частью угла AKC.


10. Поскольку MK || AC, то угол MKA и угол KAC являются накрест лежащими, если секущая AK. Нет, это не так. MK || AC, AK — секущая. Тогда угол MKA и угол KAC являются накрест лежащими. НО! AK — биссектриса угла MAC, поэтому Угол MAK = Угол KAC = 40°.


11. Следовательно, Угол MKA = Угол KAC = 40°.

Ответ: 40°.

Решение №4:

Дано:

• Треугольник ABC.
• D на AC.
• AB = BD = DC.
• DF — медиана треугольника BDC (F — середина BC).
• Угол FDC = 65°.

Найти: Угол BAC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABD: Так как AB = BD, то треугольник ABD равнобедренный. Углы при основании равны: Угол BAD = Угол BDA.


2. Угол ADB: Угол ADB является смежным углом к углу BDC. Угол ADB + Угол BDC = 180°.


3. Рассмотрим треугольник BDC: DF — медиана, значит, F — середина BC.


4. В треугольнике BDC: Угол BDC + Угол DCF + Угол CBD = 180°.


5. Угол FDC = 65°. Это часть угла BDC.


6. Рассмотрим треугольник BDF:


7. Рассмотрим треугольник CDF:


8. В треугольнике BDC, DF — медиана.


9. Угол BDC: Поскольку AB = BD = DC, то точка D делит сторону AC на три равных отрезка (AB, BD, DC). Это неверно. AB = BD, и BD = DC.


10. Рассмотрим треугольник BDC. DF — медиана. Угол FDC = 65°.


11. Так как BD = DC, то треугольник BDC равнобедренный. Углы при основании равны: Угол DBC = Угол DCB.


12. В треугольнике BDC: Угол BDC + Угол DBC + Угол DCB = 180°.


13. Угол BDC: Угол BDC = 180° - Угол DBC - Угол DCB = 180° - 2 * Угол DBC.


14. Рассмотрим треугольник BDF.


15. В треугольнике CDF: Угол DFC = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - Угол DCB.


16. Так как F — середина BC, и BD = DC, то DF — медиана в равнобедренном треугольнике BDC.


17. В равнобедренном треугольнике BDC (BD=DC), медиана, проведенная к основанию BC, является также высотой и биссектрисой. Но DF — медиана к BC, а основание — BC. BD=DC.


18. Значит, DF является высотой, если угол BDC = 90°.


19. Рассмотрим треугольник BDF и CDF. BF = FC.


20. Угол BDC: В треугольнике BDC, DF — медиана.


21. Угол FDC = 65°.


22. Рассмотрим треугольник BDC. Поскольку BD = DC, то углы при основании BC равны: Угол DBC = Угол DCB.


23. В треугольнике CDF: Угол CFD = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - Угол DCB.


24. Угол BDF: Угол BDF = Угол BDC - Угол FDC.


25. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол CFD.


26. Если DF — медиана, то BF = FC.


27. Так как BD = DC, треугольник BDC равнобедренный.


28. Рассмотрим треугольник BDF: Угол BFD — внешний угол треугольника CDF.


29. В треугольнике CDF: Угол DFC = 180° - 65° - Угол DCB.


30. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол CFD.


31. Угол CFD + Угол DFC = 180°.


32. Угол BFD = Угол DFC.


33. Рассмотрим треугольник CDF. Угол CFD = 180 - (180 - 65 - Угол DCB) = 65 + Угол DCB.


34. В треугольнике BDC: Угол BDC + 2 * Угол DCB = 180°.


35. Угол BDC = 180° - 2 * Угол DCB.


36. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол DBC - Угол BDF.


37. Угол BFD = 180° - Угол DBC - (Угол BDC - 65°).


38. Так как BF = FC, и BD = DC, то DF — медиана.


39. В треугольнике BDC, так как BD = DC, то Угол DBC = Угол DCB.


40. В треугольнике CDF, Угол DFC = 180° - 65° - Угол DCB.


41. Угол CFD = 180° - Угол DFC = 65° + Угол DCB.


42. Угол BDF: Пусть Угол BAC = X. Тогда Угол BAD = X. Угол BDA = X.


43. Угол BDC = 180° - X.


44. В треугольнике BDC: Угол BDC + 2 * Угол DCB = 180°.


45. 180° - X + 2 * Угол DCB = 180°. => 2 * Угол DCB = X => Угол DCB = X/2.


46. Значит, Угол DBC = Угол DCB = X/2.


47. Теперь вернемся к треугольнику CDF. Угол DFC = 180° - 65° - X/2.


48. Угол CFD = 180° - (180° - 65° - X/2) = 65° + X/2.


49. Угол BDF = Угол BDC - Угол FDC = (180° - X) - 65° = 115° - X.


50. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол DBC - Угол BDF = 180° - X/2 - (115° - X) = 180° - X/2 - 115° + X = 65° + X/2.


51. Мы получили, что Угол CFD = 65° + X/2 и Угол BFD = 65° + X/2. Это подтверждает, что DF — медиана.


52. Нам нужно найти X (Угол BAC).


53. Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = X, Угол ABD = ?, Угол BDA = X.


54. Угол ABD + Угол BDA + Угол BAD = 180°. Угол ABD + X + X = 180°. Угол ABD = 180° - 2X.


55. Угол BDC = 180° - Угол BDA = 180° - X.


56. В треугольнике BDC: Угол DBC + Угол DCB + Угол BDC = 180°.


57. Угол DBC = Угол DCB = X/2.


58. Угол BDC = 180° - X.


59. Угол FDC = 65°.


60. В треугольнике CDF: Угол CFD = 180° - Угол FDC - Угол DCF = 180° - 65° - X/2.


61. Угол DFC = 115° - X/2.


62. Угол BFD = 180° - Угол DFC = 180° - (115° - X/2) = 65° + X/2.


63. В треугольнике BDF: Угол BFD = 180° - Угол FBD - Угол BDF.


64. Угол FBD = Угол ABD - Угол DBC = (180° - 2X) - X/2 = 180° - 2.5X.


65. 65° + X/2 = 180° - (180° - 2.5X) - (115° - X).


66. 65° + X/2 = 180° - 180° + 2.5X - 115° + X.


67. 65° + 0.5X = 3.5X - 115°.


68. 65° + 115° = 3.5X - 0.5X.


69. 180° = 3X.


70. X = 180° / 3 = 60°.

Ответ: 60°.

Решение №5:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ACB, Угол C = 90°.
• CD — высота.
• Угол CBA = 30°.
• AD = 4 см.

Найти: Гипотенузу AB.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: Сумма острых углов равна 90°. Угол BAC = 90° - Угол CBA = 90° - 30° = 60°.


2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC: Угол ADC = 90° (так как CD — высота). Угол CAD = Угол BAC = 60°.


3. В треугольнике ADC: Угол ACD = 90° - Угол CAD = 90° - 60° = 30°.


4. В прямоугольном треугольнике ADC: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в треугольнике ADC — это AC. Катет, противолежащий углу ACD (30°), — это AD.


5. Значит, AD = AC / 2.


6. Мы знаем, что AD = 4 см. => 4 = AC / 2 => AC = 4 * 2 = 8 см.


7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: У нас есть катет AC = 8 см, и Угол CBA = 30°.


8. В прямоугольном треугольнике ABC: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Катет, противолежащий углу CBA (30°), — это AC. Гипотенуза — это AB.


9. Значит, AC = AB / 2.


10. Подставляем значение AC: 8 = AB / 2.


11. Решаем: AB = 8 * 2 = 16 см.

Ответ: 16 см.