Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаПромежуточная аттестация учащихся 7 класса по алгебре за 2024/2025 учебный год Вариант 1 №1. Решите уравнение: 1) $$\frac{x+8}{3} - \frac{x-2}{5} = 2$$; 2) $$(18-3x) - (4+2x) = 10$$ №2. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) $$-6a^4b^5 \cdot 5b^2a^6$$; 2) $$(-6m^3n^2)^3$$ №3. Вычислите: $$a)\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}$$ $$6)\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$$ №4. Постройте график функции $$y = 5x - 4$$. Пользуясь графиком, найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно 1; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 6. №5. Решите систему уравнений: 1) $$\begin{cases} -x + 4y = -25 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$$ 2) $$\begin{cases} 5x - y = 6,2 \\ 0,8x + 3y = 13 \end{cases}$$ №6. Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, требуется 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров — 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы. Вариант 2 №1. Решите уравнение: 1) $$\frac{3x+7}{12} - \frac{x+3}{18} = 1$$; 2) $$12x - (5x-8) = 8 + 7x$$. №2. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: 1) $$3x^5y · (-5)y^2x^7$$; 2) $$(-4a^3b^5)^2$$ №3. Вычислите: $$a)\frac{4^{12} \cdot 4^{20}}{4^{29}}$$ $$a)\frac{32 \cdot 2^6}{4^4}$$ №4. Постройте график функции $$y = -3x+4$$. Пользуясь графиком, найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно 2; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 7. №5. Решите систему уравнений: 1) $$\begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases}$$ 2) $$\begin{cases} 7x + 6y = 29 \\ 3x - 5y = 20 \end{cases}$$ №6. На одно платье и 3 сарафана пошло 9м ткани, а на 3 таких же платья и 5 таких же сарафанов 19м ткани. Сколько ткани потребуется на одно платье и сколько на один сарафан?
Ответ:
Вариант 1
№1. Решите уравнение:
$$\frac{x+8}{3} - \frac{x-2}{5} = 2$$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (15):
$$15 \cdot \frac{x+8}{3} - 15 \cdot \frac{x-2}{5} = 15 \cdot 2$$
$$5(x+8) - 3(x-2) = 30$$
$$5x + 40 - 3x + 6 = 30$$
$$2x + 46 = 30$$
$$2x = 30 - 46$$
$$2x = -16$$
$$x = -8$$
$$(18-3x) - (4+2x) = 10$$
Раскроем скобки:
$$18 - 3x - 4 - 2x = 10$$
$$14 - 5x = 10$$
$$-5x = 10 - 14$$
$$-5x = -4$$
$$x = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}$$
№2. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
$$-6a^4b^5 · 5b^2a^6$$
Перемножим коэффициенты и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$$(-6 · 5) \cdot (a^4 · a^6) · (b^5 · b^2)$$
$$-30a^{4+6}b^{5+2}$$
$$-30a^{10}b^7$$
$$(-6m^3n^2)^3$$
Возведем коэффициент, переменные и их степени в третью степень:
$$(-6)^3 · (m^3)^3 · (n^2)^3$$
$$-216m^{3 · 3}n^{2 · 3}$$
$$-216m^9n^6$$
№3. Вычислите:
$$\frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}}$$
Используем свойства степеней: $$a^m · a^n = a^{m+n}$$ и $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:
$$\frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36$$
$$\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$$
Представим 27 и 9 как степени тройки: $$27 = 3^3$$, $$9 = 3^2$$.
$$\frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^2)^6} = \frac{3^{11+3}}{3^{2 · 6}} = \frac{3^{14}}{3^{12}} = 3^{14-12} = 3^2 = 9$$
№4. Постройте график функции $$y = 5x - 4$$. Пользуясь графиком, найдите:
График функции $$y = 5x - 4$$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек.
- Если $$x = 0$$, то $$y = 5 \cdot 0 - 4 = -4$$. Точка (0, -4).
- Если $$y = 0$$, то $$0 = 5x - 4$$, $$5x = 4$$, $$x = \frac{4}{5} = 0.8$$. Точка (0.8, 0).
- Значение функции, если значение аргумента равно 1:
- Значение аргумента, при котором значение функции равно 6:
При $$x=1$$, $$y = 5 \cdot 1 - 4 = 5 - 4 = 1$$.
Если $$y=6$$, то $$6 = 5x - 4$$, $$5x = 10$$, $$x = 2$$.
№5. Решите систему уравнений:
$$\begin{cases} -x + 4y = -25 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на 3:
$$\begin{cases} -3x + 12y = -75 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$(-3x + 12y) + (3x - 2y) = -75 + 30$$
$$10y = -45$$
$$y = -4.5$$
Подставим $$y = -4.5$$ в первое уравнение:
$$-x + 4(-4.5) = -25$$
$$-x - 18 = -25$$
$$-x = -25 + 18$$
$$-x = -7$$
$$x = 7$$
$$\begin{cases} 5x - y = 6,2 \\ 0,8x + 3y = 13 \end{cases}$$
Выразим $$y$$ из первого уравнения:
$$y = 5x - 6.2$$
Подставим во второе уравнение:
$$0.8x + 3(5x - 6.2) = 13$$
$$0.8x + 15x - 18.6 = 13$$
$$15.8x = 13 + 18.6$$
$$15.8x = 31.6$$
$$x = \frac{31.6}{15.8} = 2$$
Найдем $$y$$:
$$y = 5(2) - 6.2 = 10 - 6.2 = 3.8$$
№6. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы.
Пусть $$x$$ — дневная норма сена для одной лошади (кг), а $$y$$ — дневная норма сена для одной коровы (кг).
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases} 4x + 12y = 120 \\ 3x + 20y = 167 \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на 4:
$$\begin{cases} x + 3y = 30 \\ 3x + 20y = 167 \end{cases}$$
Выразим $$x$$ из первого уравнения:
$$x = 30 - 3y$$
Подставим во второе уравнение:
$$3(30 - 3y) + 20y = 167$$
$$90 - 9y + 20y = 167$$
$$11y = 167 - 90$$
$$11y = 77$$
$$y = 7$$
Найдем $$x$$:
$$x = 30 - 3(7) = 30 - 21 = 9$$
Ответ: Дневная норма сена для одной лошади — 9 кг, для одной коровы — 7 кг.
Вариант 2
№1. Решите уравнение:
$$\frac{3x+7}{12} - \frac{x+3}{18} = 1$$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (36):
$$36 \cdot \frac{3x+7}{12} - 36 \cdot \frac{x+3}{18} = 36 \cdot 1$$
$$3(3x+7) - 2(x+3) = 36$$
$$9x + 21 - 2x - 6 = 36$$
$$7x + 15 = 36$$
$$7x = 36 - 15$$
$$7x = 21$$
$$x = 3$$
$$12x - (5x-8) = 8 + 7x$$
Раскроем скобки:
$$12x - 5x + 8 = 8 + 7x$$
$$7x + 8 = 8 + 7x$$
$$7x = 7x$$
Это тождество. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
№2. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
$$3x^5y · (-5)y^2x^7$$
Перемножим коэффициенты и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$$(3 · (-5)) · (x^5 · x^7) · (y · y^2)$$
$$-15x^{5+7}y^{1+2}$$
$$-15x^{12}y^3$$
$$(-4a^3b^5)^2$$
Возведем коэффициент, переменные и их степени во вторую степень:
$$(-4)^2 · (a^3)^2 · (b^5)^2$$
$$16a^{3 · 2}b^{5 · 2}$$
$$16a^6b^{10}$$
№3. Вычислите:
$$\frac{4^{12} \cdot 4^{20}}{4^{29}}$$
Используем свойства степеней:
$$\frac{4^{12+20}}{4^{29}} = \frac{4^{32}}{4^{29}} = 4^{32-29} = 4^3 = 64$$
$$\frac{32 \cdot 2^6}{4^4}$$
Представим 32 и 4 как степени двойки: $$32 = 2^5$$, $$4 = 2^2$$.
$$\frac{2^5 \cdot 2^6}{(2^2)^4} = \frac{2^{5+6}}{2^{2 · 4}} = \frac{2^{11}}{2^8} = 2^{11-8} = 2^3 = 8$$
№4. Постройте график функции $$y = -3x+4$$. Пользуясь графиком, найдите:
График функции $$y = -3x + 4$$ — это прямая.
- Если $$x = 0$$, то $$y = -3 \cdot 0 + 4 = 4$$. Точка (0, 4).
- Если $$y = 0$$, то $$0 = -3x + 4$$, $$3x = 4$$, $$x = \frac{4}{3}$$. Точка (4/3, 0).
- Значение функции, если значение аргумента равно 2:
- Значение аргумента, при котором значение функции равно 7:
При $$x=2$$, $$y = -3 \cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2$$.
Если $$y=7$$, то $$7 = -3x + 4$$, $$3x = 4 - 7$$, $$3x = -3$$, $$x = -1$$.
№5. Решите систему уравнений:
$$\begin{cases} 4x - y = 11 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на 2:
$$\begin{cases} 8x - 2y = 22 \\ 6x - 2y = 13 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$(8x - 2y) - (6x - 2y) = 22 - 13$$
$$2x = 9$$
$$x = 4.5$$
Подставим $$x = 4.5$$ в первое уравнение:
$$4(4.5) - y = 11$$
$$18 - y = 11$$
$$y = 18 - 11$$
$$y = 7$$
$$\begin{cases} 7x + 6y = 29 \\ 3x - 5y = 20 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на 3, второе — на 7:
$$\begin{cases} 21x + 18y = 87 \\ 21x - 35y = 140 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$(21x + 18y) - (21x - 35y) = 87 - 140$$
$$53y = -53$$
$$y = -1$$
Подставим $$y = -1$$ в первое уравнение:
$$7x + 6(-1) = 29$$
$$7x - 6 = 29$$
$$7x = 35$$
$$x = 5$$
№6. Сколько ткани потребуется на одно платье и сколько на один сарафан?
Пусть $$x$$ — расход ткани на одно платье (м), а $$y$$ — расход ткани на один сарафан (м).
Составим систему уравнений:
$$\begin{cases} x + 3y = 9 \\ 3x + 5y = 19 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на 3:
$$\begin{cases} 3x + 9y = 27 \\ 3x + 5y = 19 \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$(3x + 9y) - (3x + 5y) = 27 - 19$$
$$4y = 8$$
$$y = 2$$
Подставим $$y = 2$$ в первое уравнение:
$$x + 3(2) = 9$$
$$x + 6 = 9$$
$$x = 3$$
Ответ: На одно платье потребуется 3 м ткани, на один сарафан — 2 м.
