Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1. №1. Найти CH

   В прямоугольном треугольнике ABC высота BH, проведенная к гипотенузе AC, является средним пропорциональным для отрезков AH и HC, на которые гипотенуза делится этой высотой, то есть $$BH^2 = AH \cdot HC$$.

   В прямоугольном треугольнике CBH катет BH является средним пропорциональным для гипотенузы BC и проекции этого катета на гипотенузу, то есть $$BH^2 = CH \cdot BC$$.

   В прямоугольном треугольнике ABH катет AH является средним пропорциональным для гипотенузы AC и проекции этого катета на гипотенузу, то есть $$AH^2 = AC \cdot AB$$.

   Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$$, отсюда $$AC \cdot BH = AB \cdot BC$$.

   По теореме Пифагора $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$.

   Используем, что $$BH^2 = AH \cdot HC$$. В нашем случае BH = 5, AH = 20. Тогда

   $$5^2 = 20 \cdot HC$$

   $$25 = 20 \cdot HC$$

   $$HC = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} = 1,25$$

   Ответ: 1,25

2. №2. Найти MB

   В прямоугольном треугольнике ABC высота CM, проведенная к гипотенузе AB, является средним пропорциональным для отрезков AM и MB, на которые гипотенуза делится этой высотой, то есть $$CM^2 = AM \cdot MB$$.

   $$12^2 = 16 \cdot MB$$

   $$144 = 16 \cdot MB$$

   $$MB = \frac{144}{16} = 9$$

   Ответ: 9

3. №3. Найти AB, BC

   В прямоугольном треугольнике ABC высота BE, проведенная к гипотенузе AC, является средним пропорциональным для отрезков AE и EC, на которые гипотенуза делится этой высотой, то есть $$BE^2 = AE \cdot EC$$.

   $$BE^2 = 10 \cdot 15 = 150$$

   $$BE = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$$

   В прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора $$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 10^2 + 150 = 100 + 150 = 250$$.

   $$AB = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$

   В прямоугольном треугольнике BEC по теореме Пифагора $$BC^2 = EC^2 + BE^2 = 15^2 + 150 = 225 + 150 = 375$$.

   $$BC = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}$$

   Ответ: $$AB = 5\sqrt{10}$$, $$BC = 5\sqrt{15}$$

4. №4. Найти AB

   В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная к гипотенузе AB, является средним пропорциональным для отрезков AH и HB, на которые гипотенуза делится этой высотой, то есть $$CH^2 = AH \cdot HB$$.

   $$12^2 = AH \cdot 8$$

   $$144 = AH \cdot 8$$

   $$AH = \frac{144}{8} = 18$$

   $$AB = AH + HB = 18 + 8 = 26$$

   Ответ: 26

5. №5. Найти MH

   В прямоугольном треугольнике MKN высота KH, проведенная к гипотенузе MN, является средним пропорциональным для отрезков MH и HN, на которые гипотенуза делится этой высотой, то есть $$KH^2 = MH \cdot HN$$.

   Пусть MH = x, тогда HN = MN - MH = 25 - x.

   В прямоугольном треугольнике MKN по теореме Пифагора $$MN^2 = MK^2 + KN^2$$.

   $$KN^2 = MN^2 - MK^2$$.

   $$KN = \sqrt{25^2 - 10^2} = \sqrt{625 - 100} = \sqrt{525} = 5\sqrt{21}$$

   $$KH^2 = MH \cdot HN = x \cdot (25 - x)$$.

   В прямоугольном треугольнике MKH по теореме Пифагора $$MK^2 = MH^2 + KH^2$$.

   $$10^2 = x^2 + x \cdot (25 - x)$$

   $$100 = x^2 + 25x - x^2$$

   $$25x = 100$$

   $$x = \frac{100}{25} = 4$$

   Ответ: 4

6. №6. Найти MN

   Прямоугольные треугольники MKE и EKN подобны по двум углам (угол K - общий, углы MEK и KEN прямые). Следовательно, стороны пропорциональны.

   $$\frac{ME}{EK} = \frac{EK}{EN}$$

   $$\frac{6}{8} = \frac{8}{EN}$$

   $$EN = \frac{8 \cdot 8}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$

   $$MN = ME + EN = 6 + \frac{32}{3} = \frac{18 + 32}{3} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$$

   Ответ: $$16\frac{2}{3}$$

7. №7. Найти TK

   EN = 50, EK : KN = 3 : 4. Пусть EK = 3x, KN = 4x. Тогда EN = EK + KN = 3x + 4x = 7x. Следовательно, 7x = 50, x = 50/7.

   EK = 3x = 3 \cdot (50/7) = 150/7

   KN = 4x = 4 \cdot (50/7) = 200/7

   Так как треугольник ETK - прямоугольный, $$TK^2 = EK \cdot KN$$

   $$TK = \sqrt{EK \cdot KN} = \sqrt{\frac{150}{7} \cdot \frac{200}{7}} = \sqrt{\frac{30000}{49}} = \frac{100\sqrt{3}}{7}$$

   Ответ: $$\frac{100\sqrt{3}}{7}$$

8. №8. Найти EK, KN

   EN = 50, EK : KN = 3 : 4. Пусть EK = 3x, KN = 4x. Тогда EN = EK + KN = 3x + 4x = 7x. Следовательно, 7x = 50, x = 50/7.

   $$EK = 3x = 3 \cdot (\frac{50}{7}) = \frac{150}{7} = 21\frac{3}{7}$$

   $$KN = 4x = 4 \cdot (\frac{50}{7}) = \frac{200}{7} = 28\frac{4}{7}$$

   Ответ: $$EK = 21\frac{3}{7}$$, $$KN = 28\frac{4}{7}$$