Простите выражения

Решение:

Для упрощения выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( a+3 \)
• \( a^2+5a = a(a+5) \)
• \( a^2-3a = a(a-3) \)
2. Общий знаменатель для всех трех дробей: \( a(a+3)(a+5)(a-3) \).
3. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
• Первая дробь: \( \frac{a^2-25}{a+3} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+3} \). Умножим числитель и знаменатель на \( a(a-3) \): \( \frac{(a-5)(a+5)a(a-3)}{(a+3)a(a-3)} = \frac{a(a^2-25)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} \).
• Вторая дробь: \( \frac{1}{a^2+5a} = \frac{1}{a(a+5)} \). Умножим числитель и знаменатель на \( (a+3)(a-3) \): \( \frac{(a+3)(a-3)}{a(a+5)(a+3)(a-3)} = \frac{a^2-9}{a(a+3)(a+5)(a-3)} \).
• Третья дробь: \( \frac{a+5}{a^2-3a} = \frac{a+5}{a(a-3)} \). Умножим числитель и знаменатель на \( (a+3)(a+5) \): \( \frac{(a+5)(a+3)(a+5)}{a(a-3)(a+3)(a+5)} = \frac{(a+5)^2(a+3)}{a(a+3)(a+5)(a-3)} \).
4. Теперь сложим полученные дроби:
• \( \frac{a(a^2-25)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} + \frac{a^2-9}{a(a+3)(a+5)(a-3)} - \frac{(a+5)^2(a+3)}{a(a+3)(a+5)(a-3)} \)
5. Выполним упрощения в числителе:
• \( a(a^2-25)(a-3) = a(a^3 - 3a^2 - 25a + 75) = a^4 - 3a^3 - 25a^2 + 75a \)
• \( a^2-9 \)
• \( (a+5)^2(a+3) = (a^2+10a+25)(a+3) = a^3+3a^2+10a^2+30a+25a+75 = a^3+13a^2+55a+75 \)
6. Объединяем числители:
• \( (a^4 - 3a^3 - 25a^2 + 75a) + (a^2-9) - (a^3+13a^2+55a+75) \)
• \( a^4 - 3a^3 - 25a^2 + 75a + a^2 - 9 - a^3 - 13a^2 - 55a - 75 \)
• \( a^4 - 4a^3 - 37a^2 + 20a - 84 \)
7. Итоговое выражение: \( \frac{a^4 - 4a^3 - 37a^2 + 20a - 84}{a(a+3)(a+5)(a-3)} \)

Ответ: \( \frac{a^4 - 4a^3 - 37a^2 + 20a - 84}{a(a+3)(a+5)(a-3)} \)