Противоположные стороны четырёхугольника, описанного около окружности, относятся как 2:6 и 1:8. Найди стороны, если периметр равен 72 дм. В ответе запиши наибольшую сторону.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Дано:

• Четырёхугольник описан около окружности.
• Отношение противоположных сторон: 2:6 и 1:8.
• Периметр = 72 дм.

Найти: Наибольшую сторону.

Решение:

У четырёхугольника, описанного около окружности, сумма противоположных сторон равна. Обозначим стороны как:

• Первая пара противоположных сторон: $$2x$$ и $$6x$$
• Вторая пара противоположных сторон: $$y$$ и $$8y$$

По условию, сумма противоположных сторон равна, то есть:

\[ 2x + 6x = y + 8y \]

\[ 8x = 9y \]

Отсюда выразим одну переменную через другую, например, $$y$$ через $$x$$:

\[ y = \frac{8x}{9} \]

Периметр четырёхугольника равен сумме всех его сторон:

\[ P = 2x + 6x + y + 8y = 72 \]

\[ 8x + 9y = 72 \]

Теперь подставим выражение для $$y$$ в уравнение периметра:

\[ 8x + 9 \left( \frac{8x}{9} \right) = 72 \]

\[ 8x + 8x = 72 \]

\[ 16x = 72 \]

\[ x = \frac{72}{16} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Теперь найдём значения сторон:

• Первая сторона: $$2x = 2 \times 4.5 = 9$$ дм
• Вторая сторона: $$6x = 6 \times 4.5 = 27$$ дм
• Третья сторона: $$y = \frac{8x}{9} = \frac{8 \times 4.5}{9} = \frac{36}{9} = 4$$ дм
• Четвёртая сторона: $$8y = 8 \times 4 = 32$$ дм

Проверим периметр: $$9 + 27 + 4 + 32 = 72$$ дм. Всё верно!

Сравниваем длины сторон: 9 дм, 27 дм, 4 дм, 32 дм.

Наибольшая сторона — 32 дм.

Ответ: 32 дм.