Решение задачи 851

Радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле определяется формулой:

$$r = \frac{mv}{qB}$$, где:

• ( m ) - масса частицы,


• ( v ) - скорость частицы,


• ( q ) - заряд частицы,


• ( B ) - индукция магнитного поля.

а) Одинаковые скорости

Для протона (p) и альфа-частицы (α) имеем:

• Протон: заряд ( q_p = e ), масса ( m_p = m_p )


• Альфа-частица: заряд \(q_\alpha = 2e\), масса \(m_\alpha = 4m_p\)

Тогда радиусы траекторий:

Для протона: $$r_p = \frac{m_p v}{eB}$$

Для альфа-частицы: $$r_\alpha = \frac{4m_p v}{2eB} = \frac{2m_p v}{eB}$$

Сравнение радиусов:

$$\frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\frac{2m_p v}{eB}}{\frac{m_p v}{eB}} = 2$$

Вывод: Радиус траектории альфа-частицы в два раза больше радиуса траектории протона при одинаковой скорости.

б) Одинаковая энергия

Кинетическая энергия частицы: $$E_k = \frac{1}{2}mv^2$$

Выразим скорость через энергию: $$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$$

Подставим в формулу для радиуса:

$$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$$

Тогда радиусы траекторий:

Для протона: $$r_p = \frac{\sqrt{2m_p E_k}}{eB}$$

Для альфа-частицы: $$r_\alpha = \frac{\sqrt{2(4m_p) E_k}}{2eB} = \frac{\sqrt{8m_p E_k}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2m_p E_k}}{2eB} = \frac{\sqrt{2m_p E_k}}{eB}$$

Сравнение радиусов:

$$\frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\frac{\sqrt{2m_p E_k}}{eB}}{\frac{\sqrt{2m_p E_k}}{eB}} = 1$$

Вывод: Радиусы траекторий протона и альфа-частицы одинаковы при одинаковой кинетической энергии.