1) Проведем окружность произ- вольного радиуса с центром О. Она пересечет лучи ОА И ОВ в точках А и В. 2) Проведем окружность радиуса А,В, с центром А₁. Она пересечет пер- вую окружность в точках Си 3) Проведем луч, ОС. Докажем, что луч ОС искомый. Действитель- но, ДОАВ₁= = L , 1 поэтому т. е. луч ОА — угла ВОС.

Решение:

1. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке O. Она пересечет лучи OA и OB в точках A₁ и B₁ соответственно.
2. Проведем окружность радиуса A₁B₁ с центром в точке A₁. Эта окружность пересечет первую окружность в точке C.
3. Проведем луч OC. Докажем, что луч OC – искомый, то есть является биссектрисой угла AOB.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔOA₁B₁ и ΔOCA₁:

• OA₁ = OC (как радиусы первой окружности)
• A₁B₁ = CA₁ (по построению, как радиусы второй окружности)
• Сторона OA₁ — общая

Следовательно, ΔOA₁B₁ = ΔOCA₁ по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠AOA₁ = ∠BOC.

Таким образом, луч OC делит угол AOB пополам, следовательно, OC – биссектриса угла AOB.

т.е. луч OA = углу BOC.

Ответ: луч OC - биссектриса угла AOB.