Проведено 450 независимых опытов, в результате которых найдены случайные величины X1, X2... X450. Важно, что E(X) = D(X) = 3. Оцени вероятность того, что абсолютная величина разности математического ожидания и среднего арифметического значения случайной величины (1/450) * sum(Xi) меньше 0,5. (Ответ округли до сотых.)

Решение:

По условию задачи, у нас есть 450 независимых опытов, случайные величины \( X_1, X_2, …, X_{450} \). Известно, что математическое ожидание \( E(X) = 3 \) и дисперсия \( D(X) = 3 \).

Нам нужно оценить вероятность того, что абсолютная величина разности математического ожидания и среднего арифметического значения случайной величины меньше 0,5.

Среднее арифметическое значение случайной величины обозначается как \( \bar{X} = \frac{1}{450} ∑_{n=1}^{450} X_n \).

Задача сводится к оценке вероятности \( P(| \bar{X} - E(X) | < 0.5) \).

Для оценки этой вероятности можно использовать неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева гласит:

\[ P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤
E(X)^2 \]или, в более общем виде для среднего арифметического:

\[ P(|\bar{X} - E(X)| ≥ ε) ≤
\bar{X} \]где \( σ^2 = D(X) \) — дисперсия.

В нашем случае, \( E(X) = 3 \), \( D(X) = 3 \), а \( ε = 0.5 \).

Вероятность, которую мы хотим найти, это \( P(|\bar{X} - 3| < 0.5) \).

Используем обратное неравенство Чебышева (которое является следствием основного неравенства):

\[ P(|\bar{X} - E(X)| < ε) ≥ 1 -
\bar{X} \]Однако, стандартное неравенство Чебышева дает верхнюю границу вероятности отклонения, а нам нужна оценка для < 0.5.

Давайте применим неравенство Чебышева к нашей задаче. Мы хотим оценить \( P(|\bar{X} - 3| < 0.5) \).

Из неравенства Чебышева:

\[ P(|\bar{X} - 3| ≥ 0.5) ≤
\bar{X} / (0.5)^2 \]где \( σ_{\bar{X}}^2 \) — дисперсия среднего арифметического. Для независимых случайных величин \( σ_{\bar{X}}^2 = D(\bar{X}) = D(X) / n \), где \( n = 450 \).

\( D(\bar{X}) = 3 / 450 = 1 / 150 \).

Теперь подставим в неравенство Чебышева:

\[ P(|\bar{X} - 3| ≥ 0.5) ≤ (1/150) / (0.5)^2 = (1/150) / 0.25 = (1/150)
4 = 4/150 = 2/75 \]P(|\( \bar{X} \) - 3| \(\u\)2265 0.5) \(\u\)2264 \( \frac{1}{150
(0.5)^2} \) = \( \frac{1}{150
0.25} \) = \( \frac{1}{37.5} \) \(\approx\) 0.02666... \)

Вероятность, которую мы хотим найти, это \( P(|\bar{X} - 3| < 0.5) \). Это дополнение к вероятности \( P(|\bar{X} - 3| ≥ 0.5) \).

\( P(|\bar{X} - 3| < 0.5) = 1 - P(|\bar{X} - 3| ≥ 0.5) \)

Используя неравенство Чебышева, мы получаем нижнюю оценку:

\[ P(|\bar{X} - 3| < 0.5) ≥ 1 -
\bar{X} / (0.5)^2 = 1 - (1/150) / 0.25 = 1 - 4/150 = 1 - 2/75 \]\( 1 - 2/75 = 73/75 \) \(\approx\) 0.97333... \)

Округляем до сотых:

\( 73/75 ≈ 0.97 \)

Важно: Использование неравенства Чебышева дает только оценку. Для точной вероятности потребовались бы дополнительные сведения о распределении случайных величин \( X_i \).

Ответ: 0.97