Проведено 900 испытаний Бернулли. Вероятность успешного испытания (для каждого случая) равна 0,7. Оцените вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 40. Оценку произведите с помощью неравенства Чебышева. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Данная задача решается с помощью неравенства Чебышева. Нам известно:

• Число испытаний: \( n = 900 \)
• Вероятность успеха: \( p = 0,7 \)
• Вероятность неудачи: \( q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3 \)
• Разница между числом успехов и средним числом успехов меньше 40.

1. Находим математическое ожидание (среднее число успехов):

\[ M(X) = np = 900 \cdot 0,7 = 630 \]

2. Находим дисперсию:

\[ D(X) = npq = 900 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 189 \]

3. Находим среднее квадратическое отклонение:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{189} \approx 13,75 \]

4. Формулируем условие в терминах отклонения от среднего:

Мы хотим оценить вероятность того, что \( |X - M(X)| < 40 \).

5. Применяем неравенство Чебышева:

Неравенство Чебышева гласит: \( P\(|X - M(X)| \ge \epsilon\) \(\le\) \(\frac{D(X)}{\epsilon^2}\) \).

Нас интересует вероятность \( P\(|X - M(X)| < 40\) \), что эквивалентно \( 1 - P\(|X - M(X)| \ge 40\) \).

Используя неравенство Чебышева, мы можем оценить верхнюю границу вероятности того, что отклонение будет больше или равно 40:

\( P\(|X - M(X)| \ge 40\) \(\le\) \(\frac{D(X)}{40^2}\) = \(\frac{189}{1600}\) \(\approx\) 0,118125 \)

Теперь найдем оценку вероятности того, что разница меньше 40:

\( P\(|X - M(X)| < 40\) \(\ge\) 1 - P\(|X - M(X)| \ge 40\) \(\ge\) 1 - \(\frac{189}{1600}\) \(\approx\) 1 - 0,118125 = 0,881875 \)

Округляем до сотых: 0,88.

Ответ: 0,88.