Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, х3, 12. Несмещенная оценка математического ожидания равна 10. Найдите алгоритм нахождения выборочной дисперсии.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определение значения х3. Несмещенная оценка математического ожидания (выборочное среднее) рассчитывается как сумма всех измерений, деленная на их количество. У нас есть измерения: 8, 9, х3, 12. Оценка математического ожидания равна 10. Формула: \( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \). Подставляем известные значения: \( 10 = \frac{8 + 9 + x_3 + 12}{4} \). Упрощаем: \( 10 = \frac{29 + x_3}{4} \). Умножаем обе стороны на 4: \( 40 = 29 + x_3 \). Находим х3: \( x_3 = 40 - 29 \), \( x_3 = 11 \).
• Шаг 2: Вычисление выборочной дисперсии. Теперь, когда мы знаем все значения (8, 9, 11, 12), мы можем вычислить выборочную дисперсию. Формула выборочной дисперсии (несмещенной оценки): \( s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \).
• Вычисляем отклонения от среднего: \( (8-10)=-2 \), \( (9-10)=-1 \), \( (11-10)=1 \), \( (12-10)=2 \)
• Возводим отклонения в квадрат: \( (-2)^2=4 \), \( (-1)^2=1 \), \( 1^2=1 \), \( 2^2=4 \)
• Суммируем квадраты отклонений: \( 4 + 1 + 1 + 4 = 10 \)
• Делим сумму на \( n-1 \), где \( n=4 \) (количество измерений): \( s^2 = \frac{10}{4-1} = \frac{10}{3} \).

Ответ: Запишем формулу для вычисления выборочного среднего, приравняем его к математическому ожиданию, вычислим предварительно значение х3, вычисляем выборочную дисперсию.