6. Проведите полное исследование и постройте графики следующих функций: 1) y = sin4x; 2) y = cos x/3; 3) y = sinx + cosx; 4) y = sin²x; 5) y = 2cos(2x - π/3); 6) y = -tg2x; 7) y=1/2 ctg x/2; 8) y = 1 + tg²x.

Question

Вопрос:

6. Проведите полное исследование и постройте графики следующих функций: 1) y = sin4x; 2) y = cos x/3; 3) y = sinx + cosx; 4) y = sin²x; 5) y = 2cos(2x - π/3); 6) y = -tg2x; 7) y=1/2 ctg x/2; 8) y = 1 + tg²x.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для каждой функции необходимо провести полное исследование и построить график. Полное исследование функции включает следующие этапы:

Область определения.

Область значений.

Четность/нечетность.

Периодичность.

Нули функции.

Интервалы знакопостоянства.

Экстремумы и интервалы монотонности.

График функции.

1) y = sin4x;

Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

Область значений: $$y \in [-1; 1]$$

Функция нечетная: $$sin(-4x) = -sin(4x)$$

Период: $$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Нули функции: $$sin4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства:

$$sin4x > 0 \Rightarrow 2\pi n < 4x < \pi + 2\pi n \Rightarrow \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

$$sin4x < 0 \Rightarrow \pi + 2\pi n < 4x < 2\pi + 2\pi n \Rightarrow \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы:

Производная: $$y' = 4cos4x$$

$$4cos4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = -16sin4x$$

$$x = \frac{\pi}{8}: y'' = -16sin(\frac{\pi}{2}) = -16 < 0 \Rightarrow$$ точка максимума

$$x = \frac{5\pi}{8}: y'' = -16sin(\frac{5\pi}{2}) = -16 > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

График функции:

2) y = cos(x/3);

Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

Область значений: $$y \in [-1; 1]$$

Функция четная: $$cos(-x/3) = cos(x/3)$$

Период: $$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$$

Нули функции: $$cos(\frac{x}{3}) = 0 \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства:

$$cos(\frac{x}{3}) > 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$cos(\frac{x}{3}) < 0 \Rightarrow \frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow \frac{3\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{9\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы:

Производная: $$y' = -\frac{1}{3}sin(\frac{x}{3})$$

$$-\frac{1}{3}sin(\frac{x}{3}) = 0 \Rightarrow \frac{x}{3} = \pi n \Rightarrow x = 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = -\frac{1}{9}cos(\frac{x}{3})$$

$$x = 0: y'' = -\frac{1}{9}cos(0) = -\frac{1}{9} < 0 \Rightarrow$$ точка максимума

$$x = 3\pi: y'' = -\frac{1}{9}cos(\pi) = \frac{1}{9} > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

График функции:

3) y = sinx + cosx;

Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

Область значений: $$y \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Период: $$T = 2\pi$$

Нули функции: $$sinx + cosx = 0 \Rightarrow sinx = -cosx \Rightarrow tgx = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства:

$$sinx + cosx > 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$sinx + cosx < 0 \Rightarrow \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы:

Производная: $$y' = cosx - sinx$$

$$cosx - sinx = 0 \Rightarrow cosx = sinx \Rightarrow tgx = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = -sinx - cosx$$

$$x = \frac{\pi}{4}: y'' = -sin(\frac{\pi}{4}) - cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0 \Rightarrow$$ точка максимума

$$x = \frac{5\pi}{4}: y'' = -sin(\frac{5\pi}{4}) - cos(\frac{5\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

График функции:

4) y = sin²x;

Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

Область значений: $$y \in [0; 1]$$

Функция четная: $$sin^2(-x) = sin^2(x)$$

Период: $$T = \pi$$

Нули функции: $$sin^2x = 0 \Rightarrow sinx = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства: $$sin^2x > 0 \Rightarrow x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы:

Производная: $$y' = 2sinxcosx = sin2x$$

$$sin2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = 2cos2x$$

$$x = 0: y'' = 2cos(0) = 2 > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

$$x = \frac{\pi}{2}: y'' = 2cos(\pi) = -2 < 0 \Rightarrow$$ точка максимума

График функции:

5) y = 2cos(2x - π/3);

Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$

Область значений: $$y \in [-2; 2]$$

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Период: $$T = \pi$$

Нули функции: $$2cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства:

$$2cos(2x - \frac{\pi}{3}) > 0 \Rightarrow -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$2cos(2x - \frac{\pi}{3}) < 0 \Rightarrow \frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow \frac{5\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы:

Производная: $$y' = -4sin(2x - \frac{\pi}{3})$$

$$-4sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{\pi}{3} = \pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = -8cos(2x - \frac{\pi}{3})$$

$$x = \frac{\pi}{6}: y'' = -8cos(0) = -8 < 0 \Rightarrow$$ точка максимума

$$x = \frac{2\pi}{3}: y'' = -8cos(\pi) = 8 > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

График функции:

6) y = -tg2x;

Область определения: $$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

Область значений: $$y \in \mathbb{R}$$

Функция нечетная: $$-tg(-2x) = tg(-2x) = -(-tg2x) = tg2x \neq -tg2x$$

Период: $$T = \frac{\pi}{2}$$

Нули функции: $$-tg2x = 0 \Rightarrow tg2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

Интервалы знакопостоянства:

$$-tg2x > 0 \Rightarrow tg2x < 0 \Rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < \pi + \pi n \Rightarrow \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

$$-tg2x < 0 \Rightarrow tg2x > 0 \Rightarrow \pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы: отсутствуют.

График функции:

7) y = 1/2 ctg (x/2);

Область определения: $$x/2 \neq \pi n \Rightarrow x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Область значений: $$y \in \mathbb{R}$$

Функция нечетная: $$\frac{1}{2}ctg(-\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}(-ctg(\frac{x}{2})) = -\frac{1}{2}ctg(\frac{x}{2})$$

Период: $$T = 2\pi$$

Нули функции: отсутствуют.

Интервалы знакопостоянства:

$$\frac{1}{2}ctg(\frac{x}{2}) > 0 \Rightarrow ctg(\frac{x}{2}) > 0 \Rightarrow \pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$\frac{1}{2}ctg(\frac{x}{2}) < 0 \Rightarrow ctg(\frac{x}{2}) < 0 \Rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{2} < \pi + \pi n \Rightarrow \pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Экстремумы: отсутствуют.

График функции:

8) y = 1 + tg²x.

Область определения: $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Область значений: $$y \in [1; +\infty)$$

Функция четная: $$1 + tg^2(-x) = 1 + (-tgx)^2 = 1 + tg^2x$$

Период: $$T = \pi$$

Нули функции: отсутствуют.

Интервалы знакопостоянства: $$1 + tg^2x > 0$$ при всех x из области определения.

Экстремумы:

Производная: $$y' = 2tgx \cdot \frac{1}{cos^2x} = \frac{2sinx}{cos^3x}$$

$$\frac{2sinx}{cos^3x} = 0 \Rightarrow sinx = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$y'' = \frac{2cos^4x - 2sinx(-3cos^2xsinx)}{cos^6x} = \frac{2cos^4x + 6sin^2xcos^2x}{cos^6x} = \frac{2cos^2x + 6sin^2x}{cos^4x}$$

$$x = 0: y'' = \frac{2cos^2(0) + 6sin^2(0)}{cos^4(0)} = 2 > 0 \Rightarrow$$ точка минимума

График функции:

Ответ: Исследование функций проведено, графики построены.