Проведите рассуждения доказательства теоремы Вариньона для невыпуклого четырёхугольника (рис. 16).

Пусть в невыпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F, G и H — середины его сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Соединим эти точки.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок EF соединяет середины его сторон AB и BC, поэтому по теореме о средней линии треугольника EF ∥ AC и EF = AC/2.

Рассмотрим треугольник CDA. Отрезок GH соединяет середины его сторон CD и DA, поэтому GH ∥ AC и GH = AC/2. Следовательно, EF ∥ GH и EF = GH.

Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок FG соединяет середины его сторон BC и CD, поэтому FG ∥ BD и FG = BD/2.

Рассмотрим треугольник BAD. Отрезок HE соединяет середины его сторон DA и AB, поэтому HE ∥ BD и HE = BD/2. Следовательно, FG ∥ HE и FG = HE.

Таким образом, в четырёхугольнике EFGH обе пары противоположных сторон параллельны. Значит, EFGH — параллелограмм. Рассуждение не зависит от того, является исходный четырёхугольник выпуклым или невыпуклым.

Ответ: четырёхугольник, образованный серединами сторон невыпуклого четырёхугольника, является параллелограммом.