Проверить вектора на коллинеарность. \( \vec{a} = 4\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k} \), \( \vec{b} = 2\vec{i} - 1.5\vec{j} + 2.5\vec{k} \)

Решение:

Два ненулевых вектора \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны, если существует такое число \( k \), что \( \vec{a} = k\vec{b} \).

Запишем векторы в координатной форме:

• \( \vec{a} = (4; -3; 5) \)
• \( \vec{b} = (2; -1.5; 2.5) \)

Найдем коэффициент пропорциональности, разделив соответствующие координаты:

• По оси \( x \): \( k_x = \frac{a_x}{b_x} = \frac{4}{2} = 2 \)
• По оси \( y \): \( k_y = \frac{a_y}{b_y} = \frac{-3}{-1.5} = 2 \)
• По оси \( z \): \( k_z = \frac{a_z}{b_z} = \frac{5}{2.5} = 2 \)

Поскольку значения коэффициентов \( k_x, k_y, k_z \) равны, то векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны.

Ответ: Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) коллинеарны.